橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，右焦點(diǎn)到直線x+y+
6
=0的距離為2
3
．
（Ⅰ） 求橢圓的方程；
（Ⅱ） 過(guò)點(diǎn)M（0，-1）作直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，交x軸于N點(diǎn)，滿足
NA
=-
7
5
NB
，求直線l的方程．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（Ⅰ）根據(jù)圓的離心率為
3
2
，右焦點(diǎn)到直線x+y+
6
=0的距離為2
3
，建立方程組，可求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)A （x1，y1），B（x2，y2），N（x0，0），利用
NA
=-
7
5
NB
，可得（x1-x0，y1）=-
7
5
（x2-x0，y2），設(shè)直線l的方程為y=kx-1（k≠0），與橢圓方程聯(lián)立，消去x可得（4k2+1）y2+2y+1-8k2=0，由此即可求得直線l的方程．
解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓的離心率為
3
2
，右焦點(diǎn)到直線x+y+
6
=0的距離為2
3
，
∴
c
a
=
3
2
|c+
6
|
2
=2
3

∴c=
6
，a=2
2
，
∴b=
2
，
∴橢圓的方程為
x2
8
+
y2
2
=1；
（Ⅱ）設(shè)A （x1，y1），B（x2，y2），N（x0，0）
∵
NA
=-
7
5
NB
，
∴（x1-x0，y1）=-
7
5
（x2-x0，y2）
∴y1=-
7
5
y2①
易知直線斜率不存在時(shí)或斜率為0時(shí)①不成立
于是設(shè)直線l的方程為y=kx-1（k≠0）．
與橢圓方程聯(lián)立，消去x可得（4k2+1）y2+2y+1-8k2=0②
∴y1+y2=-
2
4k2+1
③y1y2=
1-8k2
4k2+1
④
由①③可得y2=
5
4k2+1
，y1=-
7
4k2+1
代入④整理可得：8k4+k2-9=0
∴k2=1
此時(shí)②為5y2+2y-7=0，判別式大于0
∴直線l的方程為y=±x-1．
點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理進(jìn)行解題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

定義在R上的函數(shù)f（x），在[2，+∞）單調(diào)遞增，對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒有f（2+x）=f（2-x）成立，若f（x）＜f（x+2），則x的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，線段B′D′上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，EF=
1
2
，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（　�。�
A、AC⊥BE
B、EF∥平面ABCD
C、三棱錐A-BEF的體積為定值
D、異面直線AE，BF所成角為定值

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓M、拋物線N的焦點(diǎn)均在x軸上的，且M的中心和M的頂點(diǎn)均為原點(diǎn)O，從每條曲線上取兩個(gè)點(diǎn)，將其坐標(biāo)記錄于下表中：
x 3 -2 4
2
y -2
3
 0 -4
2
2
（Ⅰ）求M，N的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）已知定點(diǎn)A（1，
1
2
），過(guò)原點(diǎn)O作直線l交橢圓M于B，C兩點(diǎn)，求△ABC面積的最大值和此時(shí)直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），已知點(diǎn)（1，e）和（e，
3
2
）都在橢圓上，其中e為橢圓的離心率．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓上位于x軸上方的兩點(diǎn)，且直線AF1與直線BF2平行，若|AF1|-|BF2|=
6
2
，求直線AF的斜率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=
π
2
．AC=CB=AA1=2，E為BB1的中點(diǎn)，D在AB上，且∠A1DE=
π
2
．
（Ⅰ）求證：CD⊥面ABB1A1；
（Ⅱ）求二面角D-A1C-A的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線C：y2=2px（p＞0）上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)M到拋物線C焦點(diǎn)F的距離|MF|=2．
（1）試求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線l與拋物線C相交所得的弦的中點(diǎn)為（2，1），試求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示，已知橢圓C1和拋物線C2有公共焦點(diǎn)F（1，0），C1的中心和C2的頂點(diǎn)都在坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M（4，0）的直線l與拋物線C2分別相交于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）寫出拋物線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）求證：以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)；
（Ⅲ）若坐標(biāo)原點(diǎn)O關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)P在拋物線C2上，直線l與橢圓C1有公共點(diǎn)，求橢圓C1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=|x-1|．若f（a）=2a，則a=
 
．

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