Question

13．已知函數(shù)f（x）=2ax²+4x-3-a，a∈R．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）在[-1，1]上的最大值；
（2）如果函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=1時(shí)，則f（x）=2x²+4x-4=2（x²+2x）-4=2（x+1）²-6，由此可得f（x）的最大值f（1）的值．
（2）當(dāng)a=0時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)滿足條件．當(dāng)a≠0時(shí)，令△=0求得a=-1，a=-2，經(jīng)檢驗(yàn)都滿足條件．
當(dāng)f（-1）•f（1）≤0時(shí)，求出a的取值范圍．當(dāng)y=f（x）在區(qū)間[-1，1]上有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，
利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．再把以上實(shí)數(shù)a的取值范圍取并集，即得所求．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，則f（x）=2x²+4x-4=2（x²+2x）-4=2（x+1）²-6．
因?yàn)閤∈[-1，1]，所以x=1時(shí)，f（x）的最大值f（1）=2．…（3分）
（2），若a=0時(shí)，f（x）=4x-3，顯然在區(qū)間[-1，1]上有零點(diǎn)，所以a=0時(shí)，命題不成立．…（4分）
若a≠0時(shí)，令△=16+8a（3+a）=8（a+1）（a+2）=0，解得a=-1，a=-2．   …（5分）
①當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=-2x²+4x-2=-2（x-1）²，f（x）的零點(diǎn)為 x=1，滿足條件．
②當(dāng) a=-2時(shí)，f（x）=-4x²+4x-1=-4（x-$\frac{1}{2}$）²，求得函數(shù)的零點(diǎn) x=$\frac{1}{2}$，滿足條件．
所以當(dāng) a=0，-1，-2時(shí)，y=f（x）均恰有一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間[-1，1]上．…（7分）
③當(dāng)f（-1）•f（1）=（a-7）（a+1）≤0，即-1≤a≤7時(shí)，
y=f（x）在區(qū)間[-1，1]上必有零點(diǎn)．…（8分）
④若y=f（x）在區(qū)間[-1，1]上有兩個(gè)零點(diǎn)，則$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\△=8（a+1）（a+2）＞0\\-1＜-\frac{1}{a}＜1\\ f（-1）≥0\\ f（1）≥0\end{array}\right.$，
或$\left\{\begin{array}{l}a＜0\\△=8（a+1）（a+2）＞0\\-1＜-\frac{1}{a}＜1\\ f（-1）≤0\\ f（1）≤0\end{array}\right.$．…（12分）
解得a≥7或a＜-2．
綜上所述，函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上存在極值點(diǎn)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a≥-1，或a≤-2}，
故答案為 {a|0＞a≥-1，或a≤-2或a＞0}．…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，求函數(shù)的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．