Question

11．將函數(shù)g（x）=sin（ωx-φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）再向左平移$\frac{π}{6}$個單位長度后得到函數(shù)y=f（x）圖象，若函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)（$\frac{π}{6}$，0），且相鄰兩對稱軸的距離為$\frac{π}{2}$．
（1）求ω，φ的值；
（2）求y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間
（3）若$\frac{π}{6}$＜A＜$\frac{π}{2}$，求f（A）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角函數(shù)圖象變換的法則，進(jìn)行化簡，可得兩次變換后所得到的圖象對應(yīng)函數(shù)解析式．利用函數(shù)的周期以及函數(shù)經(jīng)過的特殊點(diǎn)即可求出ω，φ的值．
（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，求得x的范圍，即可得到函數(shù)的增區(qū)間．
（3）通過$\frac{π}{6}$＜A＜$\frac{π}{2}$，求出相位的范圍，利用正弦函數(shù)的值域求f（A）的取值范圍即可．

解答 解：（1）將函數(shù)g（x）=sin（ωx-φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)g（x）=sin（$\frac{ω}{2}$x-φ）的圖象，再向左平移$\frac{π}{6}$個單位長度后得到函數(shù)y=f（x）=sin（$\frac{ω}{2}$x+$\frac{ωπ}{12}$-φ）圖象，
∵若函數(shù)f（x）的圖象相鄰兩對稱軸的距離為$\frac{π}{2}$．∴T=π，$\frac{2π}{\frac{ω}{2}}$=π，∴ω=4．
函數(shù)f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$-φ），函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)（$\frac{π}{6}$，0），
∴0=sin（2×$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{3}$-φ），
∴φ=$\frac{2π}{3}$-kπ，k∈Z，
∵0＜φ＜π，
∴φ=$\frac{2π}{3}$．
∴ω=4，φ=$\frac{2π}{3}$．
（2）由（1）可知f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$），
令 2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，求得 kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，k∈z，故函數(shù)的增區(qū)間為 （kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$），（k∈Z）
（3）f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$），∵$\frac{π}{6}$＜A＜$\frac{π}{3}$，∴0＜2A-$\frac{π}{3}$＜$\frac{π}{3}$，∴sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
∴f（A）的取值范圍：（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．

點(diǎn)評 本題給出三角函數(shù)圖象的平移和伸縮變換，求得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式．著重考查了三角函數(shù)圖象的變換知識的應(yīng)用，屬于中檔題．