Question

3．給出下列命題：
①函數(shù)$f（x）=\sqrt{1-x}+\sqrt{x-1}$既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)；
②f（x）=x和$g（x）=\frac{x^2}{x}$為同一函數(shù)；
③定義在R上的奇函數(shù)f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，則f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減；
④函數(shù)$y=\frac{x}{{2{x^2}+1}}$的值域為$[-\frac{{\sqrt{2}}}{4}，\frac{{\sqrt{2}}}{4}]$；
其中正確命題的序號是④．（寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

分析 化簡函數(shù)解析式判斷①；由函數(shù)的定義域不同判斷②；舉例說明③錯誤；分類求解函數(shù)的值域判斷④．

解答 解：對于①，由$\left\{\begin{array}{l}{1-x≥0}\\{x-1≥0}\end{array}\right.$，得x=1，∴$f（x）=\sqrt{1-x}+\sqrt{x-1}$=0（x=1），
則函數(shù)$f（x）=\sqrt{1-x}+\sqrt{x-1}$既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．故①錯誤；
對于②，f（x）=x的定義域為R，$g（x）=\frac{x^2}{x}$的定義域為{x|x≠0}，∴f（x）=x和$g（x）=\frac{x^2}{x}$不是同一函數(shù)．故②錯誤；
對于③，定義在R上的奇函數(shù)f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，則f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減，錯誤．如$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{0，x=0}\\{\frac{1}{x}，x≠0}\end{array}\right.$；
對于④，函數(shù)$y=\frac{x}{{2{x^2}+1}}$，當x=0時，y=0；當x＞0時，y=$\frac{1}{2x+\frac{1}{x}}∈（0，\frac{\sqrt{2}}{4}]$；當x＜0時，$y=\frac{1}{2x+\frac{1}{x}}∈[-\frac{\sqrt{2}}{4}，0）$．
∴函數(shù)$y=\frac{x}{{2{x^2}+1}}$的值域為$[-\frac{{\sqrt{2}}}{4}，\frac{{\sqrt{2}}}{4}]$．故④正確．
故答案為：④．

點評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，訓練了函數(shù)值域的求法，是中檔題．