Question

20．已知圓O：x²+y²=1與y軸的負(fù)、正半軸分別交于點(diǎn)F₁、F₂，垂直于y軸的直線m與二次函數(shù)y=$\frac{1}{4}{x}^{2}$的圖象交于不同的兩點(diǎn)P，Q且$\overrightarrow{{F}_{1}P}•\overrightarrow{{F}_{2}Q}$=-5．
（1）判斷直線m與圓O的位置關(guān)系；
（2）過點(diǎn)M（-3，0）作直線l與圓O交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)$\overrightarrow{MA}$=λ$\overrightarrow{MB}$，若λ∈[$\frac{3}{2}$，2]，求|$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}$|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)P（x₀，y₀），則Q（-x₀，y₀），得到x₀²-y₀²=4①，和y₀=$\frac{1}{4}$x₀²，②，構(gòu)造方程組，解得即可，再根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系即可判斷，
（2）分直線l的斜率存在和不存在兩種情況討論，直線和圓的位置關(guān)系，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立方程組得$\left\{\begin{array}{l}{x=my-3}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得m²的范圍，
根據(jù)韋達(dá)定理得到$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}+{y}_{2}=\frac{6m}{1+{m}^{2}}}\\{{y}_{1}{y}_{2}=\frac{8}{1+{m}^{2}}}\end{array}\right.$，根據(jù)基本不等式和函數(shù)的單調(diào)性求出$\frac{25}{6}$≤$\frac{9{m}^{2}}{2（1+{m}^{2}）}$≤$\frac{9}{2}$，再根據(jù)點(diǎn)與點(diǎn)的距離公式，即可求出m的范圍．

解答 解：（1）由題意得到F₂（0，1），F(xiàn)₁（0，-1），
∵拋物線y=$\frac{1}{4}{x}^{2}$關(guān)于y軸對稱，
∴設(shè)P（x₀，y₀），則Q（-x₀，y₀），
∴$\overrightarrow{{F}_{1}P}$=（x₀，y₀+1），則$\overrightarrow{{F}_{2}Q}$=（-x₀，y₀-1），
又且$\overrightarrow{{F}_{1}P}•\overrightarrow{{F}_{2}Q}$=-5．
∴-x₀²+y₀²-1=-5，
即x₀²-y₀²=4①，
又點(diǎn)P在拋物線上，
∴y₀=$\frac{1}{4}$x₀²，②，
聯(lián)立①②易得y₀=2，
∴直線m的方程為：y=2，顯然直線m與圓相離；
（2）由題意顯然l的斜率存在，M（-3，0），
1°當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，B（-1，0），A（1，0），$\overrightarrow{MA}$=（4，0），$\overrightarrow{MB}$=（2，0），
故$\overrightarrow{MA}$=2$\overrightarrow{MB}$，λ=2，滿足條件，此時(shí)|$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}$|=6，
2°當(dāng)直線l的斜率為不為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為：x=my-3，
并設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴$\overrightarrow{MA}$=（3+x₁，y₁），$\overrightarrow{MB}$=（3+x₂，y₂），
∵$\overrightarrow{MA}$=λ$\overrightarrow{MB}$，
∴y₁=λy₂，
聯(lián)立方程組得$\left\{\begin{array}{l}{x=my-3}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+m²）y²-6my+8=0，③
由△=36m²-32（1+m²）=4m²-32＞0，得m²＞8，
且y₁，y₂是方程③的兩根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}+{y}_{2}=\frac{6m}{1+{m}^{2}}}\\{{y}_{1}{y}_{2}=\frac{8}{1+{m}^{2}}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（1+λ）{y}_{2}=\frac{6m}{1+{m}^{2}}}\\{λ{(lán){y}_{2}}^{2}=\frac{8}{1+{m}^{2}}}\end{array}\right.$，
顯然$λ{(lán){y}_{2}}^{2}$≠0，
∴$\frac{（1+λ）^{2}}{λ}$=$\frac{9{m}^{2}}{2（1+{m}^{2}）}$，
∵$\frac{（1+λ）^{2}}{λ}$=λ+$\frac{1}{λ}$+2在λ∈[$\frac{3}{2}$，2]上是增函數(shù)，
∴$\frac{25}{6}$≤$\frac{（1+λ）^{2}}{λ}$=λ+$\frac{1}{λ}$+2≤$\frac{9}{2}$，
即$\frac{25}{6}$≤$\frac{9{m}^{2}}{2（1+{m}^{2}）}$≤$\frac{9}{2}$，
解得m²≥$\frac{25}{2}$，滿足m²＞8，
∴m²≥$\frac{25}{2}$，
又$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}$=（x₁+x₂+6，y₁+y₂）且x₁+x₂=m（y₁+y₂）-6，
∴$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}$=（m（y₁+y₂），（y₁+y₂）），
∴|$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}$|=$\sqrt{（1+{m}^{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{（1+{m}^{2}）\frac{36{m}^{2}}{（1+{m}^{2}）^{2}}}$=6$\sqrt{\frac{1}{1+\frac{1}{{m}^{2}}}}$，
∵1＜1+$\frac{1}{{m}^{2}}$≤$\frac{27}{25}$，
∴$\frac{10\sqrt{3}}{3}$≤|$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}$|＜6，
綜上所述，|$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}$|的取值范圍[$\frac{10\sqrt{3}}{3}$，6）．

點(diǎn)評 本題考查圓方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運(yùn)用，考查韋達(dá)定理，考查分析解決問題的能力，屬于中檔題．