Question

已知曲線C的參數(shù)方程為

x=3cosθ y=2sinθ

（θ為參數(shù)），在同一平面直角坐標(biāo)系中，將曲線C上的點(diǎn)按坐標(biāo)變換

x′= 1 3 x y′= 1 2 y

得到曲線C′．
（1）求曲線C′的普通方程；
（2）若點(diǎn)A在曲線C′上，點(diǎn)B（3，0），當(dāng)點(diǎn)A在曲線C′上運(yùn)動時(shí)，求AB中點(diǎn)P的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)移，代入?yún)��?shù)方程，消去參數(shù)即可求曲線C′的普通方程；
（2）設(shè)P（x，y），A（x₀，y₀），點(diǎn)A在曲線C′上，點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)A在曲線C′上，列出方程組，即可求AB中點(diǎn)P的軌跡方程．

解答： 解：（1）將

x=3cosθ y=2sinθ

代入

x′= 1 3 x y′= 1 2 y

，得C'的參數(shù)方程為

x=cosθ y=sinθ

∴曲線C'的普通方程為x²+y²=1．                  …（5分）
（2）設(shè)P（x，y），A（x₀，y₀），又B（3，0），且AB中點(diǎn)為P
所以有：

x0=2x-3 y0=2y

又點(diǎn)A在曲線C'上，∴代入C'的普通方程

x

2 0

+

y

2 0

=1得（2x-3）²+（2y）²=1
∴動點(diǎn)P的軌跡方程為(x-

3

2

)2+y2=

1

4

．            …（10分）

點(diǎn)評：本題考查參數(shù)方程和直角坐標(biāo)的互化，利用直角坐標(biāo)方程與參數(shù)方程間的關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．