Question

（1）證明：mC

m n

=nC

m-1 n-1

，m≤n，m，n∈N⁺；
（2）證明：隨機變量ε，若滿足?-B（n，p），則Eε=np．

Answer 1

考點：組合及組合數(shù)公式

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）利用組合數(shù)公式和性質進行證明．
（2）由?～B（n，p），知P（?=k）=

C

k n

Pk(1-p)n-k=

C

k n

pkqn-k，由此利用數(shù)學期望計算公式能證明Eε=np．

解答： 證明：（1）∵m

C

m n

=

m•n!

m!(n-m)!

=

n!

(m-1)!•(n-m)!

，

nC

m-1 n-1

=

n•(n-1)!

(m-1)!•(n-1-m+1)!

=

n!

(m-1)!•(n-m)!

，
∴m

C

m n

=n

C

m-1 n-1

．
（2）∵?～B（n，p），
∴P（?=k）=

C

k n

Pk(1-p)n-k=

C

k n

pkqn-k，
E?=0×

C

0 n

p0qn+1×

C

1 n

pqn-1+…+k

C

k n

pkqn-k+…+n

C

n n

pnq0
=np（

C

0 n-1

p0qn-1+

C

1 n-1

pqn-2+…+

kC

k-1 n-1

pk-1q(n-1)-(k-1)+…+

C

n-1 n-1

pn-1q0）
=np（p+q）^n-1=np．
∴Eε=np．

點評：本題考查組合數(shù)的證明和數(shù)學期望的證明，解題時要認真審題，注意組合數(shù)公式和二項分布性質的合理運用．