【題目】已知函數(shù)g(x)= +lnx在[1,+∞)上為增函數(shù),且θ∈(0,π),f(x)=mx﹣ ﹣lnx(m∈R). (Ⅰ)求θ的值;
(Ⅱ)若f(x)﹣g(x)在[1,+∞)上為單調函數(shù),求m的取值范圍;
(Ⅲ)設h(x)= ,若在[1,e]上至少存在一個x0 , 使得f(x0)﹣g(x0)>h(x0)成立,求m的取值范圍.

【答案】解:(Ⅰ)由題意, ≥0在[1,+∞)上恒成立,即 . ∵θ∈(0,π),∴sinθ>0.故sinθx﹣1≥0在[1,+∞)上恒成立,只須sinθ1﹣1≥0,
即sinθ≥1,只有sinθ=1.結合θ∈(0,π),得
(Ⅱ)由(1),得f(x)﹣g(x)=

∵f(x)﹣g(x)在其定義域內為單調函數(shù),
∴mx2﹣2x+m≥0或者mx2﹣2x+m≤0在[1,+∞)恒成立.mx2﹣2x+m≥0等價于m(1+x2)≥2x,即
,( max=1,∴m≥1.mx2﹣2x+m≤0等價于m(1+x2)≤2x,即
在[1,+∞)恒成立,而 ∈(0,1],m≤0.
綜上,m的取值范圍是(﹣∞,0]∪[1,+∞).
(Ⅲ)構造F(x)=f(x)﹣g(x)﹣h(x),
當m≤0時,x∈[1,e], , ,
所以在[1,e]上不存在一個x0 , 使得f(x0)﹣g(x0)>h(x0)成立.
當m>0時,
因為x∈[1,e],所以2e﹣2x≥0,mx2+m>0,
所以(F(x))'>0在x∈[1,e]恒成立.
故F(x)在[1,e]上單調遞增, ,只要
解得
故m的取值范圍是
【解析】(Ⅰ)由題意可知 .由θ∈(0,π),知sinθ>0.再由sinθ≥1,結合θ∈(0,π),可以得到θ的值.(Ⅱ)由題設條件知 .mx2﹣2x+m≥0或者mx2﹣2x+m≤0在[1,+∞)恒成立.由此知 ,由此可知m的取值范圍.(Ⅲ)構造F(x)=f(x)﹣g(x)﹣h(x), .由此入手可以得到m的取值范圍是

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