Question

17．已知函數(shù)$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx-{cos^2}x$．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若f（x）=-1，求$cos（\frac{2π}{3}-2x）$的值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式和將次公式化簡得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$，代入周期公式求出；
（2）由f（x）=-1得sin（2x-$\frac{π}{6}$）=$-\frac{1}{2}$．而$\frac{2π}{3}-2x$=$\frac{π}{2}$-（2x-$\frac{π}{6}$），故用誘導公式可求出$cos（\frac{2π}{3}-2x）$．

解答 解：（1）$f（x）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{1+cos2x}{2}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{cos2x}{2}-\frac{1}{2}=sin（2x-\frac{π}{6}）-\frac{1}{2}$，
∴f（x）的最小正周期為$T=\frac{2π}{2}=π$．
（2）∵f（x）=-1，
∴$sin（2x-\frac{π}{6}）-\frac{1}{2}=-1$，即$sin（2x-\frac{π}{6}）=-\frac{1}{2}$，
∴$cos（{\frac{2π}{3}-2x}）=cos（{\frac{π}{2}-（2x-\frac{π}{6}）}）=sin（2x-\frac{π}{6}）=-\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了三角函數(shù)化簡及誘導公式應用，發(fā)現(xiàn)$\frac{2π}{3}-2x$與2x-$\frac{π}{6}$的關(guān)系是解題關(guān)鍵．