Question

在如圖所示的幾何體中， 四邊形是正方形,,,且,,.

（Ⅰ）若與交于點,求證: 平面；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）求二面角的余弦值.

Answer 1

（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）如圖，取中點，連，，易得，且，又由已知得，，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以平面；（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，只需證明，即可. （Ⅲ）設(shè)平面的法向量為 由（Ⅱ）知，，，易得，

又平面的法向量為，所以可求得二面角的余弦值為

試題解析：（Ⅰ）如圖，取中點，連，， 在中，因為分別是的中點，

所以，且，又由已知得，，且，

所以，所以四邊形是平行四邊形，所以 3分

又平面，平面所以平面 4分

（Ⅱ）如圖，以為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系

則，，

，， 2分

所以，

，

所以，

且

所以，； 4分

又，所以平面 5分

（Ⅲ）設(shè)平面的法向量為

由（Ⅱ）知，

所以，令，得 2分

又平面的法向量為 3分

設(shè)二面角的大小為，是銳角

則

所以二面角的余弦值為 5分

考點：立體幾何的綜合應(yīng)用