【題目】已知二次函數(shù)對稱軸方程為,在上的奇函數(shù)滿足:當(dāng)時,.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)判斷方程的根的個數(shù),并說明理由.
【答案】(1)(2)3個零點
【解析】
(1)根據(jù)對稱軸方程求出a,通過函數(shù)的奇偶性求出g(x)的表達(dá)式即可;(2)在同一個坐標(biāo)系中,作出函數(shù)與的圖像,根據(jù)兩個圖象結(jié)合零點存在定理判斷出根的個數(shù).
由二次函數(shù)對稱軸方程為,可得:,所以.
由時,,即:
設(shè)則,所以, 即:
又因為是奇函數(shù),所以,所以
即:
由是奇函數(shù)可知,當(dāng)時,
所以,
當(dāng)時,與的圖像可知:
兩函數(shù)有且僅有一個交點;
當(dāng)時,與的圖像沒有交點;
當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,且函數(shù)單調(diào)遞增,又,又
可知在上有一個根且1亦為它的一個根
綜上所述方程的有3個根。
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x3+bx2+ax+d的圖象過點P(0,2),且在點M(﹣1,f(﹣1))處的切線程為6x﹣y+7=0.
(1)求函數(shù)y=f(x)的解析式;
(2)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.
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【題目】已知函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的一段圖象如圖所示
(1)求此函數(shù)的解析式;
(2)求此函數(shù)在(﹣2π,2π)上的遞增區(qū)間.
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【題目】已知二次項系數(shù)是1的二次函數(shù).
當(dāng),時,求方程的實根;
設(shè)b和c都是整數(shù),若有四個不同的實數(shù)根,并且在數(shù)軸上四個根等距排列,試求二次函數(shù)的解析式,使得其所有項的系數(shù)和最。
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【題目】某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本(固定投入)為2500元,已知每生產(chǎn)x件這樣的產(chǎn)品需要再增加可變成本C(x)=200x+x3(元),若生產(chǎn)出的產(chǎn)品都能以每件500元售出,要使利潤最大,該廠應(yīng)生產(chǎn)多少件這種產(chǎn)品?最大利潤是多少?
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【題目】已知f(x)是定義在R上且以2為周期的偶函數(shù),當(dāng)0≤x≤1,f(x)=x2 . 如果函數(shù)g(x)=f(x)﹣(x+m)有兩個零點,則實數(shù)m的值為( )
A.2k(k∈Z)
B.2k或2k+ (k∈Z)
C.0
D.2k或2k﹣ (k∈Z)
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【題目】已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分圖象如圖所示,且f(α)=1,α∈(0, ),則cos(2α+ )=( )
A.
B.
C.﹣
D.
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【題目】選修4一1:幾何證明選講 如圖,C是以AB為直徑的半圓O上的一點,過C的直線交直線AB于E,交過A點的切線于D,BC∥OD.
(Ⅰ)求證:DE是圓O的切線;
(Ⅱ)如果AD=AB=2,求EB.
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