Question

已知函數(shù)f：{1，2，3，4}→{1，2，3}滿足f[f（x）]=f（x），則這樣的函數(shù)共有多少個？

Answer 1

考點：映射

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用函數(shù)的定義分類討論可得：（1）值域只有一個元素的函數(shù)3個；（2）值域有兩個元素，有12個函數(shù)；（3）值域有3個元素的函數(shù)，只有3個函數(shù)．即可得出．

解答： 解：（1）值域只有一個元素的函數(shù)有3個：f（x）=1，f（x）=2，f（x）=3，x∈{1，2，3，4}．
（2）值域中有兩個元素，共12個函數(shù)：

f(1)=f(2)=1 f(3)=f(4)=3

，

f(1)=f(2)=2 f(3)=f(4)=3

，

f(1)=f(3)=1 f(2)=f(4)=2

，

f(1)=f(3)=3 f(2)=f(4)=2

，

f(2)=f(3)=2 f(1)=f(4)=1

，

f(2)=f(3)=3 f(1)=f(4)=1

，

f(1)=f(2)=f(4)=1 f(3)=3

，

f(1)=f(2)=f(4)=2 f(3)=3

，

f(1)=f(3)=f(4)=1 f(2)=2

，

f(1)=f(3)=f(4)=3 f(2)=2

，

f(2)=f(3)=f(4)=2 f(1)=1

，

f(2)=f(3)=f(4)=3 f(1)=1

，x∈{1，2，3}．
（3）值域中含有3個元素的函數(shù)，只有3個函數(shù)：

f(1)=f(4)=1 f(2)=2 f(3)=3

，

f(2)=f(4)=2 f(1)=1 f(3)=3

，

f(3)=f(4)=3 f(1)=1 f(2)=2

，x∈{1，2，3}．
綜上可得：3+12+3=18個函數(shù)．

點評：本題考查了函數(shù)的定義及其對應(yīng)法則的理解，考查了推理能力，屬于難題．