Question

拋物線的焦點(diǎn)F在y軸正半軸上，過F斜率為

1

2

的直線l和x軸交于點(diǎn)A，且△OAF（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為4，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)拋物線方程為x²=2ay（a＞0），根據(jù)拋物線方程表示出F的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)斜式表示出直線l的方程，求得A的坐標(biāo)，利用三角形面積公式表示出三角形的面積建立等式取得a，則拋物線的方程可得．

解答： 解：設(shè)拋物線方程為x²=2ay（a＞0）
則焦點(diǎn)F坐標(biāo)為(0，

a

2

)，直線l的方程為y=

1

2

x+

a

2

，
它與x軸的交點(diǎn)為A（-a，0），
所以△OAF的面積為

1

2

|-a|•|

a

2

|=4，
解得a=4，所以拋物線方程為x²=8y．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，點(diǎn)斜式求直線方程等．考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的思想的運(yùn)用和基礎(chǔ)知識(shí)的靈活運(yùn)用．