Question

12．在下列四個命題中：
①函數(shù)y=sin²x+2cos²x最小正周期是π；
②若向量$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow$∥$\overrightarrow{m}$，則$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$；
③在△ABC中，M是BC的中點，AM=3，點P在AM上且滿足$\overrightarrow{AP}$=2$\overrightarrow{PM}$，則$\overrightarrow{PA}$•（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）=-4；
④函數(shù)（x）=xsinx在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[-$\frac{π}{2}$，0]函數(shù)f（x）上單調(diào)遞減．
把你認為正確的命題的序號都填在橫線上①，③，④．

Answer 1

分析 （1）考察同角三角函數(shù)的轉(zhuǎn)換和周期的判斷
（2）是向量的基本概念，屬于基礎(chǔ)題型
（3）向量的加法和數(shù)量積，結(jié)合圖形分析
（4）考察復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷．

解答 解：（1）y=1+cos²x=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{3}{2}$，
∴T=π，真命題
（2）零向量與任一向量共線，當向量m為零向量時不成立．假命題
（3）如圖：$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$=2$\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{AP}$
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{AP}$=-$\overrightarrow{AP}$²=-4 真命題
（4）f′（x）=sinx+cosx•x
f′（0）=0
當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，f′（x）≥0，f（x）單調(diào)遞增
當x∈[-$\frac{π}{2}$，0]時，f′（x）≤0，f（x）單調(diào)遞減
故答案為：①，③，④．

點評 分別考察了三角函數(shù)的轉(zhuǎn)換和向量的運算．是常規(guī)題型，應(yīng)掌握解題方法．