Question

函數(shù)f（x）=

ax+b

1+x2

是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，且f(

1

2

)=

2

5

．
（1）確定函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)，求使f（1-m）+f（1-m²）＜0成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）通過(guò)f（0）=0求出b，通過(guò)f(

1

2

)=

2

5

求出a，即可確定函數(shù)f（x）的解析式；
（2）利用f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)，以及函數(shù)的奇偶性轉(zhuǎn)化f（1-m）+f（1-m²）＜0為不等式組，即可求解實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： （本題滿分10分）
解：（1）∵函數(shù)f(x)=

ax+b

1+x2

是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，∴f（0）=0，∴b=0
∴f(x)=

ax

1+x2

，x∈(-1，1)．
∵f(

1

2

)=

2

5

，即

1 2 a

1+( 1 2 )2

=

2

5

，∴a=1．
∴f(x)=

x

1+x2

，x∈(-1，1)．
（2）因?yàn)閒（x）在（-1，1）上是奇函數(shù)，所以f（1-m²）=-f（m²-1）
因?yàn)閒（1-m）+f（1-m²）＜0，所以f（1-m）-f（m²-1）＜0，
即f（1-m）＜f（m²-1）
又因?yàn)閒（x）在（-1，1）上是增函數(shù)，
所以

1-m＜m2-1 -1＜1-m＜1 -1＜m2-1＜1

⇒

m＜-2或m＞1 0＜m＜2 - 2 ＜m＜0或0＜m＜ 2

所以不等式的解集為(1 ， 

2

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的解析式的求法，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．