Question

如圖，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，以橢圓C的左頂點T為圓心作圓T：（x+2）²+y²=r²（r＞0），設(shè)圓T與橢圓C交于點M與點N．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求

TM

•

TN

的最小值，并求此時圓T的方程；
（3）設(shè)點P是橢圓C上異于M，N的任意一點，且直線MP，NP分別與x軸交于點R，S，O為坐標(biāo)原點，求證：|OR|•|OS|為定值．

Answer 1

（1）依題意，得a=2，e=

c

a

=

3

2

，
∴c=

3

，b=

4-3

=1，
故橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1．…（3分）
（2）方法一：點M與點N關(guān)于x軸對稱，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₁，-y₁），不妨設(shè)y₁＞0．
由于點M在橢圓C上，所以y12=1-

x12

4

．（*）…（4分）
由已知T（-2，0），則

TM

=(x1+2，y1)，

TN

=(x1+2，-y1)，
∴

TM

•

TN

=(x1+2，y1)•(x1+2，-y1)
=（x₁+2）²-y12
=(x1+2)2-(1-

x12

4

)=

5

4

x12+4x1+3
=

5

4

(x1+

8

5

)2-

1

5

．…（6分）
由于-2＜x₁＜2，
故當(dāng)x1=-

8

5

時，

TM

•

TN

取得最小值為-

1

5

．
由（*）式，y1=

3

5

，故M(-

8

5

，

3

5

)，
又點M在圓T上，代入圓的方程得到r2=

13

25

．
故圓T的方程為：(x+2)2+y2=

13

25

．…（8分）
方法二：點M與點N關(guān)于x軸對稱，
故設(shè)M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，-sinθ），
不妨設(shè)sinθ＞0，由已知T（-2，0），
則

TM

•

TN

=(2cosθ+2，sinθ)•(2cosθ+2，-sinθ)
=（2cosθ+2）²-sin²θ
=5cos²θ+8cosθ+3
=5(cosθ+

4

5

)2-

1

5

．…（6分）
故當(dāng)cosθ=-

4

5

時，

TM

•

TN

取得最小值為-

1

5

，
此時M(-

8

5

，

3

5

)，
又點M在圓T上，代入圓的方程得到r2=

13

25

．
故圓T的方程為：(x+2)2+y2=

13

25

．…（8分）
（3）方法一：設(shè)P（x₀，y₀），
則直線MP的方程為：y-y0=

y0-y1

x0-x1

(x-x0)，
令y=0，得xR=

x1y0-x0y1

y0-y1

，
同理：xS=

x1y0+x0y1

y0+y1

，…（10分）
故xR•xS=

x12y02-x02y12

y02-y12

（**）…（11分）
又點M與點P在橢圓上，
故x02=4(1-y02)，x12=4(1-y12)，…（12分）
代入（**）式，
得：xR•xS=

4(1-y12)y02-4(1-y02)y12

y02-y12

=

4(y02-y12)

y02-y12

=4．
所以|OR|•|OS|=|x_R|•|x_S|=|x_R•x_S|=4為定值．…（14分）
方法二：設(shè)M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，-sinθ），
不妨設(shè)sinθ＞0，P（2cosα，sinα），其中sinα≠±sinθ．
則直線MP的方程為：y-sinα=

sinα-sinθ

2cosα-2cosθ

(x-2cosα)，
令y=0，得xR=

2(sinαcosθ-cosαsinθ)

sinα-sinθ

，
同理：xS=

2(sinαcosθ+cosαsinθ)

sinα+sinθ

，…（12分）
故xR•xS=

4(sin2αcos2θ-cos2αsin2θ)

sin2α-sin2θ

=

4(sin2α-sin2θ)

sin2α-sin2θ

=4．
所以|OR|•|OS|=|x_R|•|x_S|=|x_R•x_S|=4為定值．…（14分）