【題目】函數(shù)f(x)=ln(x+1)﹣ (a>1).
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)設(shè)a1=1,an+1=ln(an+1),證明: <an

【答案】
(1)解:函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋ī?,+∞),f′(x)= ,

①當(dāng)1<a<2時(shí),若x∈(﹣1,a2﹣2a),則f′(x)>0,此時(shí)函數(shù)f(x)在(﹣1,a2﹣2a)上是增函數(shù),

若x∈(a2﹣2a,0),則f′(x)<0,此時(shí)函數(shù)f(x)在(a2﹣2a,0)上是減函數(shù),

若x∈(0,+∞),則f′(x)>0,此時(shí)函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).

②當(dāng)a=2時(shí),f′(x)≥0,此時(shí)函數(shù)f(x)在(﹣1,+∞)上是增函數(shù),

③當(dāng)a>2時(shí),若x∈(﹣1,0),則f′(x)>0,此時(shí)函數(shù)f(x)在(﹣1,0)上是增函數(shù),

若x∈(0,a2﹣2a),則f′(x)<0,此時(shí)函數(shù)f(x)在(0,a2﹣2a)上是減函數(shù),

若x∈(a2﹣2a,+∞),則f′(x)>0,此時(shí)函數(shù)f(x)在(a2﹣2a,+∞)上是增函數(shù).


(2)解:由(1)知,當(dāng)a=2時(shí),此時(shí)函數(shù)f(x)在(﹣1,+∞)上是增函數(shù),

當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f(x)>f(0)=0,

即ln(x+1)> ,(x>0),

又由(1)知,當(dāng)a=3時(shí),f(x)在(0,3)上是減函數(shù),

當(dāng)x∈(0,3)時(shí),f(x)<f(0)=0,ln(x+1)< ,

下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明 <an 成立,

①當(dāng)n=1時(shí),由已知

,故結(jié)論成立.

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立,即 ,

則當(dāng)n=k+1時(shí),an+1=ln(an+1)>ln( +1) ,

an+1=ln(an+1)<ln( +1)

即當(dāng)n=k+1時(shí), 成立,

綜上由①②可知,對(duì)任何n∈N結(jié)論都成立.


【解析】(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的取值范圍,即可得到f(x)的單調(diào)性;(2)利用數(shù)學(xué)歸納法即可證明不等式.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減),還要掌握數(shù)學(xué)歸納法的定義(數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某工廠為了確定工效,進(jìn)行了5次試驗(yàn),收集數(shù)據(jù)如下:

加工零件個(gè)數(shù)個(gè)

10

20

30

40

50

加工時(shí)間(分鐘)

64

69

75

82

90

經(jīng)檢驗(yàn),這組樣本數(shù)據(jù)的兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系,那么對(duì)于加工零件的個(gè)數(shù)與加工時(shí)間這兩個(gè)變量,下列判斷正確的是(

A. 負(fù)相關(guān),其回歸直線經(jīng)過點(diǎn) B. 正相關(guān),其回歸直線經(jīng)過點(diǎn)

C. 負(fù)相關(guān),其回歸直線經(jīng)過點(diǎn) D. 正相關(guān),其回歸直線經(jīng)過點(diǎn)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù));以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.

(Ⅰ)求曲線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程;

(Ⅱ)若把曲線各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>,得到曲線,求曲線的方程;

(Ⅲ)設(shè)為曲線上的動(dòng)點(diǎn),求點(diǎn)到曲線上點(diǎn)的距離的最小值,并求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣ax2﹣x(a∈R).
(1)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)f(x)在(1,﹣2)處的切線方程;
(2)當(dāng)a≤0時(shí),分析函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性;
(3)若函數(shù)y=g(x)的圖象上存在一點(diǎn)P(x0 , y0),使得以P為切點(diǎn)的切線m將圖象分割為c1 , c2兩部分,且c1 , c2分別完全位于切線m的兩側(cè)(除了P點(diǎn)外),則稱點(diǎn)x0為函數(shù)y=g(x)的“切割點(diǎn)“.問:函數(shù)f(x)是否存在滿足上述條件的切割點(diǎn).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】函數(shù)的圖象形如漢字“囧”,故稱其為“囧函數(shù)”.

下列命題:

①“囧函數(shù)”的值域?yàn)?/span>;

②“囧函數(shù)”在上單調(diào)遞增;

③“囧函數(shù)”的圖象關(guān)于軸對(duì)稱;

④“囧函數(shù)”有兩個(gè)零點(diǎn);

⑤“囧函數(shù)”的圖象與直線

至少有一個(gè)交點(diǎn).正確命題的個(gè)數(shù)為( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)函數(shù)是奇函數(shù).

1求常數(shù)的值;

2,試判斷函數(shù)的單調(diào)性,并加以證明;

3,且函數(shù)在區(qū)間上的最小值為,求實(shí)數(shù)的值

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】一盒中裝有9張各寫有一個(gè)數(shù)字的卡片,其中4張卡片上的數(shù)字是1,3張卡片上的數(shù)字是2,2張卡片上的數(shù)字是3,從盒中任取3張卡片.
(1)求所取3張卡片上的數(shù)字完全相同的概率;
(2)X表示所取3張卡片上的數(shù)字的中位數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.(注:若三個(gè)數(shù)字a,b,c滿足a≤b≤c,則稱b為這三個(gè)數(shù)的中位數(shù).)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某企業(yè)通過調(diào)查問卷(滿分50分)的形式對(duì)本企業(yè)900名員工的工作滿意程度進(jìn)行調(diào)查,并隨機(jī)抽取了其中30名員工(16名女工,14名男工)的得分,如下表:

47

36

32

48

34

44

43

47

46

41

43

42

50

43

35

49

37

35

34

43

46

36

38

40

39

32

48

33

40

34

(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),估計(jì)該企業(yè)得分大于45分的員工人數(shù);

(2)現(xiàn)用計(jì)算器求得這30名員工的平均得分為40.5分,若規(guī)定大于平局得分為 “滿意”,否則為 “不滿意”,請(qǐng)完成下列表格:

“滿意”的人數(shù)

“不滿意”的人數(shù)

合計(jì)

女員工

16

男員工

14

合計(jì)

30

(3)根據(jù)上述表中數(shù)據(jù),利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法判斷,能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過1%的前提下,認(rèn)為該企業(yè)員工“性別”與“工作是否滿意”有關(guān)?

參考數(shù)據(jù):

P(K2K)

0.10

0.050

0.025

0.010

0.001

K

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】定義在D上的函數(shù),如果滿足:對(duì)任意,存在常數(shù),都有成立,則稱D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)的上界已知函數(shù)

當(dāng),求函數(shù)上的值域,并判斷函數(shù)上是否為有界函數(shù),請(qǐng)說明理由;

若函數(shù)上是以3為上界的有界函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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