Question

已知函數(shù)f（x）=（x+a）e^x，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)x∈[0，4]時(shí)，函數(shù)f（x）≥e²恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)a≠0時(shí)，求函數(shù)F（x）=af（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當(dāng)x∈[0，4]時(shí)，函數(shù)f（x）≥e²恒成立，等價(jià)為f_min（x）≥e²恒成立求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)a≠0時(shí)，討論a的符號和求函數(shù)F（x）=af（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的為f′（x）=（x+a+1）e^x，
當(dāng)x∈[0，4]時(shí)，函數(shù)f（x）≥e²恒成立，等價(jià)為f_min（x）≥e²恒成立；
令f′（x）=0，解得x=-a-1，
f（x），f′（x）的情況如下：

x	（-∞，-a-1）	-a-1	（-a-1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

①當(dāng)-a-1≤0，即a≥-1時(shí)，f（x）在[0，4]上的最小值為f（0），
若滿足題意只需f（0）≥e²，解得a≥e²；
②當(dāng)0＜-a-1＜4，即-5＜a＜-1時(shí)，f（x）在[0，4]上的最小值為f（-a-1），
若滿足題意只需f（-a-1））≥e²，求解可得此不等式無解，
所以a不存在；
③當(dāng)-a-1≥4，即a≤-5時(shí)，f（x）在[0，4]上的最小值為f（4），
若滿足題意只需需f（4）≥e²，解得（4+a）e⁴≥e²，
所以此時(shí)，a不存在．
綜上實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≥e²；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）的增區(qū)間為（-a-1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（-∞，-a-1），
∴若a＞0，函數(shù)F（x）=af（x）的單調(diào)性與f（x）的單調(diào)性相同，
若a＜0，函數(shù)F（x）=af（x）的單調(diào)性與f（x）的單調(diào)性相反，
綜上當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)F（x）=af（x）的增區(qū)間為（-a-1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（-∞，-a-1），
當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)F（x）=af（x）的增區(qū)間為（-∞，-a-1），F(xiàn)（x）=af（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-a-1，+∞）．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)最值之間的應(yīng)用，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．