Question

已知函數f（x）=e^x-x．
（1）若函數g（x）=f（x）-ax²-1的導函數g′（x）在[0，+∞）上是增函數，求實數a的最大值；
（2）證明在（1）的條件下，當a取最大值時，有f（x）≥

1

2

x²+1（x∈[0，+∞））
（3）證明：f（

1

2

）+f（

1

3

）+…+f（

1

n+1

）＞n[1+

1

4(n+2)

]（n∈N^*）

Answer 1

考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值,利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（1）由g′（x）=（e^x-1）-2ax在[0，+∞）上是增函數知g″（x）=e^x-2a≥0在[0，+∞）上恒成立，得a≤（

1

2

e^x）_min，而（

1

2

e^x）_min=

1

2

，從而求出a的最大值；
（2）由（1）知g′（0）=0，且當a=

1

2

時，g′（x）在[0，+∞）上是增函數，得f（x）≥

1

2

x²+1，（x∈[0，+∞）），
（3）在上式中分別令x=

1

2

，

1

3

，…

1

n+1

并相加得f（

1

2

）+f（

1

3

）+…+f（

1

n+1

）≥n+

1

2

[(

1

2

)2+(

1

3

)2+…+(

1

n+1

)2]，得n+

1

2

[(

1

2

)2+(

1

3

)2+…+(

1

n+1

)2]＞n+

1

2

[（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n+1

-

1

n+2

）]=n+

1

2

（

1

2

-

1

n+2

）=n[1+

1

4(n+2)

]，從而問題得證．

解答： 解：（1）由g′（x）=（e^x-1）-2ax在[0，+∞）上是增函數
知g″（x）=e^x-2a≥0在[0，+∞）上恒成立，
∴a≤

1

2

e^x在[0，+∞）上恒成立
∴a≤（

1

2

e^x）_min，x∈[0，+∞），
∵函數

1

2

e^x在[0，+∞）上單調遞增，
∴（

1

2

e^x）_min=

1

2

e⁰=

1

2

，
∴a≤

1

2

，
∴a的最大值為

1

2

．
（2）由（1）知g′（0）=0，且當a=

1

2

時，g′（x）在[0，+∞）上是增函數
∴g′x）≥g′（0）=0，
即函數g（x）在[0，+∞）上為增函數，且g（0）=0，
∴g（x）=f（x）-

1

2

x²-1≥g（0）=0，
即f（x）≥

1

2

x²+1，（x∈[0，+∞）），
（3）在上式中分別令x=

1

2

，

1

3

，…

1

n+1

并相加得
f（

1

2

）+f（

1

3

）+…+f（

1

n+1

）≥n+

1

2

[(

1

2

)2+(

1

3

)2+…+(

1

n+1

)2]，
∵

1

(n+1)2

＞

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
∴n+

1

2

[(

1

2

)2+(

1

3

)2+…+(

1

n+1

)2]
＞n+

1

2

[（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n+1

-

1

n+2

）]
=n+

1

2

（

1

2

-

1

n+2

）=n[1+

1

4(n+2)

]，
即f（

1

2

）+f（

1

3

）+…+f（

1

n+1

）＞n[1+

1

4(n+2)

]．

點評：本題考查了函數的單調性，函數的最值問題，考查導數的應用，不等式的證明，是一道綜合題．