Question

已知首項是1的兩個數(shù)列{a_n}，{b_n}（b_n≠0，n∈N^*）滿足a_nb_n+1-a_n+1b_n+2b_n+1b_n=0．
（1）令c_n=

an

bn

，求數(shù)列{c_n}的通項公式；
（2）若b_n=3^n-1，求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a_nb_n+1-a_n+1b_n+2b_n+1b_n=0，c_n=

an

bn

，可得數(shù)列{c_n}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，即可求數(shù)列{c_n}的通項公式；
（2）用錯位相減法來求和．

解答： 解：（1）∵a_nb_n+1-a_n+1b_n+2b_n+1b_n=0，c_n=

an

bn

，
∴c_n-c_n+1+2=0，
∴c_n+1-c_n=2，
∵首項是1的兩個數(shù)列{a_n}，{b_n}，
∴數(shù)列{c_n}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，
∴c_n=2n-1；
（2）∵b_n=3^n-1，c_n=

an

bn

，
∴a_n=（2n-1）•3^n-1，
∴S_n=1×3⁰+3×3¹+…+（2n-1）×3^n-1，
∴3S_n=1×3+3×3²+…+（2n-1）×3ⁿ，
∴-2S_n=1+2•（3¹+…+3^n-1）-（2n-1）•3ⁿ，
∴S_n=（n-1）3ⁿ+1．

點評：本題為等差等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，用好錯位相減法是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．