【題目】如圖，在三棱錐中，，二面角的大小為120°，點在棱上，且，點為的重心.

（1）證明：平面；

（2）求二面角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）連接，并延長與相交于點，連接，可證得，從而得證；

（2）過點在中作，與相交于點，可得，以點為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，分別求平面的法向量和平面的一個法向量為，再求得，進而利用同角三角函數(shù)關系即可得解.

（1）證明：連接，并延長與相交于點，連接，

因為點為的重心，所以，

在中，有，

所以，

則平面，平面，

所以平面；

（2）解：過點在中作，與相交于點，因為，，則為二面角的平面角，則。

以點為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

因為，，，則，，，，

所以

記平面的法向量，

則

令，得到平面的一個法向量，

設平面的一個法向量為，

則，

令，得到平面的一個法向量，

，

設二面角的平面角為，則，

即二面角的正弦值為.

練習冊系列答案
相關習題

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【題目】已知定義在上的數(shù)滿足，當時.若關于的方程有三個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是( )

A.B.

C.D.

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①直線上有兩個點到平面的距離相等,則這條直線和這個平面平行；

②為異面直線,則過且與平行的平面有且僅有一個；

③直四棱柱是直平行六面體；

④兩相鄰側面所成角相等的棱錐是正棱錐.

A.0B.1C.2D.3

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（1）當時，求證：；

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（2）若在點處的切線方程為，若對任意的

恒有，求的取值范圍（是自然對數(shù)的底數(shù)）。

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（1）求出拋物線的標準方程；

（2）求動點P的軌跡方程；

（3）以下給出曲線C的四個方面的性質，請你選擇其中的三個方面進行研究：①對稱性；②范圍；③漸近線；④時，寫出由確定的函數(shù)的單調區(qū)間．

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【題目】某市交通管理部門為了解市民對機動車“單雙號限行”的態(tài)度，隨機采訪了100名市民，將他們的意見和是否擁有私家車的情況進行了統(tǒng)計，得到了如下的列聯(lián)表：

贊同限行

不贊同限行

合計

沒有私家車

15

有私家車

45

合計

100

已知在被采訪的100人中隨機抽取1人且抽到“贊同限行”者的概率是.

（1）請將上面的列聯(lián)表補充完整；

（2）根據上面的列聯(lián)表判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認為“對限行的態(tài)度與是否擁有私家車有關”；

（3）將上述調查所得到的頻率視為概率.現(xiàn)在從該市大量市民中，采用隨機抽樣方法每次抽取1名市民，抽取3次，記被抽取的3名市民中的“贊同限行”人數(shù)為.若每次抽取的結果是相互獨立的，求的分布列、期望和方差.

附：參考公式：，其中.

臨界值表：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.10

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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