Question

【題目】已知定義在上的數(shù)滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí).若關(guān)于的方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )

A.B.

C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

根據(jù)f（2﹣x）＝f（2+x）可知函數(shù)f（x）關(guān)于x＝2對(duì)稱(chēng)，利用當(dāng)時(shí)，畫(huà)出函數(shù)y＝f（x）的大致圖象．由題意轉(zhuǎn)化為y＝k（x﹣2）+e﹣1與f（x）有三個(gè)交點(diǎn)，直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)（2，e﹣1），再根據(jù)數(shù)形結(jié)合法可得k的取值范圍．

由題意，當(dāng)x≤2時(shí)，f（x）＝（x﹣1）ex﹣1．f′（x）＝xex．

①令f′（x）＝0，解得x＝0；②令f′（x）＜0，解得x＜0；③令f′（x）＞0，解得0＜x≤2．

∴f（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，2]上單調(diào)遞增，

在x＝0處取得極小值f（0）＝﹣2．且f（1）＝﹣1；x→﹣∞，f（x）→0．

又∵函數(shù)f（x）在R上滿(mǎn)足f（2﹣x）＝f（2+x），∴函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于x＝2對(duì)稱(chēng)．

∴函數(shù)y＝f（x）的大致圖象如圖所示：

關(guān)于x的方程f（x）﹣kx+2k﹣e+1＝0可轉(zhuǎn)化為f（x）＝k（x﹣2）+e﹣1．

而一次函數(shù)y＝k（x﹣2）+e﹣1很明顯是恒過(guò)定點(diǎn)（2，e﹣1）．結(jié)合圖象，當(dāng)k＝0時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)，不符合題意，

當(dāng)k＝e時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)，其中一個(gè)是（1，﹣1）．此時(shí)y＝f（x）與y＝k（x﹣2）+e﹣1正好相切．

∴當(dāng)0＜k＜e時(shí)，有三個(gè)交點(diǎn)．同理可得當(dāng)﹣e＜k＜0時(shí)，也有三個(gè)交點(diǎn)．

實(shí)數(shù)k的取值范圍為：（﹣e，0）∪（0，e）．

故選：D．