如圖所示,已知圓C與y軸相切于點T(0,2),與x軸正半軸相交于兩點M,N(點M在點N的右側(cè)),且|MN|=3,已知橢圓D:+=1(a>b>0)的焦距等于2|ON|,且過點（,）.

(1)求圓C和橢圓D的方程;

(2)若過點M斜率不為零的直線l與橢圓D交于A、B兩點,求證:直線NA與直線NB的傾斜角互補.

 

【答案】

（1）（x-）2+(y-2)2= +=1 （2）見解析

【解析】

(1)解:設(shè)圓的半徑為r,由題意,圓心為(r,2),

因為|MN|=3,

所以r2=（）2+22=,r=,

故圓C的方程是（x-）2+(y-2)2= ①

在①中,令y=0解得x=1或x=4,

所以N(1,0),M(4,0).

由得c=1,a=2,

故b2=3.

所以橢圓D的方程為+=1.

(2)證明:設(shè)直線l的方程為y=k(x-4).

由

得(3+4k2)x2-32k2x+64k2-12=0 ②

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),

則x1+x2=,x1x2=.

當(dāng)x1≠1,x2≠1時,

kAN+kBN=+

=+

=k·

=·[2x1x2-5(x1+x2)+8]

=·

=0.

所以kAN=-kBN,

當(dāng)x1=1或x2=1時,k=±,

此時,對方程②,Δ=0,不合題意.

所以直線AN與直線BN的傾斜角互補.

 

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精英家教網(wǎng)如圖所示，已知圓O1與圓O2外切，它們的半徑分別為3、1，圓C與圓O1、圓O2外切．
（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求圓C的圓心的軌跡方程；
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如圖所示，已知圓C：(x＋1)2＋y2＝8，定點A(1，0)，M為圓上一動點，點P在AM上，點N在CM上，且滿足，點N的軌跡為曲線E．

(1)求曲線E的方程；

(2)若直線與(1)中所求點N的軌跡E交于不同兩點F、H、O是坐標(biāo)原點，且，求△FOH的面積的取值范圍．

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如圖所示，已知圓C：(x＋1)2＋y2＝8，定點A(1，0)，M為圓上一動點，點P在AM上，點N在CM上，且滿足，點N的軌跡為曲線E．

(1)求曲線E的方程；

(2)若直線與(1)中所求點N的軌跡E交于不同兩點F、H，點O是坐標(biāo)原點，且，求△FOH的面積的取值范圍．

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如圖所示，已知圓C：(x＋1)2＋y2＝8，定點A(1，0)，M為圓上一動點，點P在AM上，點N在CM上，且滿足，點N的軌跡為曲線E．

(1)求曲線E的方程：

(2)若直線與(1)中所求點N的軌跡E交于不同兩點F、H，點O是坐標(biāo)原點，且，求△FOH的面積的取值范圍．

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如圖所示，已知圓O1與圓O2外切，它們的半徑分別為3、1，圓C與圓O1、圓O2外切．
（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求圓C的圓心的軌跡方程；
（2）在（1）的坐標(biāo)系中，若圓C的半徑為1，求圓C的方程．

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