Question

（本小題滿分14分）已知函數(shù)

（1）求的單調(diào)區(qū)間和極值；

（2）設(shè)，若在上不單調(diào)且僅在處取得最大值，求的取值范圍；

（3）當(dāng)時，探究當(dāng)時，函數(shù)的圖像與函數(shù)圖像之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

（1）當(dāng)a≤0時，在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，無極值；當(dāng)a＞0時，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，在 取得極小值，極小值為；（2）a∈；（3）略．

【解析】

試題分析：（1），若a≤0，則，在（0，＋∞）上單調(diào)遞增；

若a＞0，則由解得；由解得，

此時函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為．

當(dāng)a＞0時，則在 取得極小值，極小值為；

當(dāng)a≤0時時，無極值．

（2），

設(shè)，

若在上不單調(diào)，則，∴，∴，

同時僅在處取得最大值，

∴只要g（e）＞g（1）即可得出： ，

故的范圍：

（3）結(jié)論：在區(qū)間上，函數(shù)的圖像總在函數(shù) 圖像的上方．

即證當(dāng)x＞1時，f（x）＞h（x），即lnx＋1＜x．

設(shè)m（x）＝lnx＋1－x，則，

有m（x）在（1，＋ ∞）上單調(diào)遞減，∴m（x）＜m（1），得證．

考點(diǎn)：考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，證明不等式．