Question

20．已知函數(shù)f（x）=e^x-me^-x，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）若f（x）在x=ln2處的切線的斜率為l，求實(shí)數(shù)m的值；
（2）當(dāng)m=1時(shí)，若正數(shù)a滿足：存在x₀∈[1，+∞），使得f（x₀）＜a（-x₀³+3x₀）成立．試比較a^e-1與e^a-1的大小，并說(shuō)明埋由．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，利用f（x）在x=ln2處的切線的斜率為l，求實(shí)數(shù)m的值；
（2）利用$ln\frac{{{a^{e-1}}}}{{{e^{a-1}}}}=ln{a^{e-1}}-ln{e^{a-1}}=（e-1）lna-a+1$，設(shè)m（a）=（e-1）lna-a+1，確定其單調(diào)性，即可比較a^e-1與e^a-1的大�。�

解答 解：（1）f'（x）=e^x+me^-x，由題意得，$f'（ln2）=2+\frac{m}{2}=1$，則m=-2．…（3分）
（2）當(dāng)m=1時(shí)，f'（x）=e^x+e^-x，
設(shè)h（x）=f（x）+ax³-3ax，則h'（x）=f'（x）+3ax²-3a，
當(dāng)x≥1時(shí)f'（x）＞0，且3ax²-3a≥0，∴h'（x）＞0，即h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∵存在x₀∈[1，+∞），使得$f（{x_0}）＜a（-x_0^3+3{x_0}）$，
∴即存在x₀∈[1，+∞），使得h（x₀）＜0，
∴$h（1）=e-\frac{1}{e}-2a＜0$，即$a＞\frac{1}{2}（{e-\frac{1}{e}}）$．…（7分）
∵$ln\frac{{{a^{e-1}}}}{{{e^{a-1}}}}=ln{a^{e-1}}-ln{e^{a-1}}=（e-1）lna-a+1$，
設(shè)m（a）=（e-1）lna-a+1，則$m'（a）=\frac{e-1}{a}-1=\frac{e-1-a}{a}\;，\;a＞\frac{1}{2}（{e-\frac{1}{e}}）$
當(dāng)$\frac{1}{2}（{e-\frac{1}{e}}）＜a＜e-1$時(shí)，m'（a）＞0，m（a）單調(diào)遞增，
當(dāng)a＞e-1時(shí)，m'（a）＜0，m（a）單調(diào)遞減，
因此m（a）在$a＞\frac{1}{2}（{e-\frac{1}{e}}）$時(shí)至多有兩個(gè)零點(diǎn)，而m（1）=m（e）=0，且$\frac{1}{2}（{e-\frac{1}{e}}）＞1$，
∴當(dāng)$\frac{1}{2}（{e-\frac{1}{e}}）＜a＜e$時(shí)，m（a）＞0，a^e-1＞e^a-1；
當(dāng)a=e時(shí)，m（a）=0，a^e-1=e^a-1；
當(dāng)a＞e時(shí)，m（a）＜0，a^e-1＜e^a-1．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，正確構(gòu)造函數(shù)是關(guān)鍵．