Question

如圖，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，A1C1⊥B1D ，BC＝1，AD＝AA1＝3.

（Ⅰ）證明：平面ACD1⊥平面B1BDD1；

（Ⅱ）求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值.

Answer 1

方法一　(1)證明

 ∵　AA1∥CC1且AA1=CC1，∴AC∥A1C1

∵A1C1⊥B1D ，∴AC⊥B1D

因為BB1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以AC⊥BB1. ，

所以AC⊥平面B1BDD1   又因為AC面ACD1，       平面ACD1⊥平面B1BDD1；

(2)解　因為B1C1∥AD，所以直線B1C1與平面ACD1所成的角等于直線AD與平面ACD1所成的角(記為θ).如圖，連接A1D，因為棱柱ABCD－A1B1C1D1是直棱柱，且∠B1A1D1＝∠BAD＝90°，

所以A1B1⊥平面ADD1A1，從而A1B1⊥AD1.又AD＝AA1＝3，所以四邊形ADD1A1是正方形.

于是A1D⊥AD1，故AD1⊥平面A1B1D，于是AD1⊥B1D.

由(1)知，AC⊥B1D，所以B1D⊥平面ACD1.故∠ADB1＝90°－θ，在直角梯形ABCD中，

因為AC⊥BD，所以∠BAC＝∠ADB.從而Rt△ABC∽Rt△DAB，故＝，

即AB＝＝.

連接AB1，易知△AB1D是直角三角形，且B1D2＝BB＋BD2＝BB＋AB2＋AD2＝21，

即B1D＝.在Rt△AB1D中，cos∠ADB1＝＝＝，

即cos(90°－θ)＝.  

從而sin θ＝.   即直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值為.

方法二　(1)證明　易知，AB，AD，AA1兩兩垂直.如圖，以A為坐標原點，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系.

設AB＝t，則相關各點的坐標為A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)，  C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3).

從而＝(－t,3，－3)，＝(t,1,0)，＝(－t,3,0).

因為AC⊥BD，所以·－t2＋3＋0＝0，解得t＝或t＝－(舍去).

于是＝(－，3，－3)，＝(，1,0)，

因為＝－3＋3＋0＝0，  所以⊥，即AC⊥B1D.

 因為BB1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，

所以AC⊥BB1. ，所以AC⊥平面B1BDD1

又因為AC面ACD1，       平面ACD1⊥平面B1BDD1；

(2)解　由(1)知，＝(0,3,3)，＝(，1,0)，＝(0,1,0).

設n＝(x，y，z)是平面ACD1的一個法向量，則，即

令x＝1，則n＝(1，－，).設直線B1C1與平面ACD1所成角為θ，則

sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝＝.

即直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值為.