Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

1

3

x³-

1

2

（a+2）x²+（a+2）x-a-1，g（x）=

(exf(x))′

ex

，其中a＞0．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）設(shè)曲線y=g（x）在點(diǎn)（m，g（m）），（n，g（n））處的切線都過點(diǎn)（0，2）．證明：當(dāng)m≠n時，g′（m）≠g′（n）．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)0＜a≤2時，導(dǎo)函數(shù)的判別式小于等于0成立，導(dǎo)函數(shù)恒大于等于0，原函數(shù)在R上單調(diào)遞增，當(dāng)a＞2時，求出導(dǎo)函數(shù)的兩個根，由導(dǎo)函數(shù)的兩根對定義域分段，利用導(dǎo)函數(shù)在不同區(qū)間段內(nèi)的符號得到原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）把f（x）代入g（x）=

(exf(x))′

ex

，整理后對g（x）求導(dǎo)，然后求出曲線y=g（x）在點(diǎn)（t，g（t））處的切線方程，整理得到

2

3

t3-

1

2

at2+1=0，即t滿足的方程為

2

3

x3-

1

2

ax2+1=0．最后借助于該方程利用反證法證明結(jié)論．

解答： 解：（1）由f（x）=

1

3

x³-

1

2

（a+2）x²+（a+2）x-a-1，得：
f′（x）=x²-（a+2）x+（a+2）．
①當(dāng)0＜a≤2時，f′（x）≥0，f（x）在R上單調(diào)遞增；
②當(dāng)a＞2時，令f′（x）=0，得x1=

a+2- a2-4

2

，x2=

a+2+ a2-4

2

．
當(dāng)x＜x₁時，f′（x）＞0，當(dāng)x₁＜xx₂時，f′（x）＞0．
故f（x）分別在（-∞，x₁），（x₂，+∞）上單調(diào)遞增，在（x₁，x₂）上單調(diào)遞減．
（2）由g（x）=

(exf(x))′

ex

，得：
g(x)=

ex( 1 3 x3- 1 2 (a+2)x2+(a+2)x-a-1)+ex(x2-(a+2)x+(a+2))

ex

=

1

3

x3-

1

2

ax2+1．
∴g′（x）=x²-ax．
由于點(diǎn)（t，g（t））處的切線方程為y-g（t）=g′（t）（x-t），
而點(diǎn)（0，2）在切線上，
∴2-g（t）=g′（t）（x-t）．
化簡得：

2

3

t3-

1

2

at2+1=0，即t滿足的方程為

2

3

x3-

1

2

ax2+1=0．
下面用反證法證明．
假設(shè)當(dāng)m≠n時，g′（m）=g′（n），
由于曲線y=g（x）在點(diǎn)（m，g（m）），（n，g（n））處的切線都過點(diǎn)（0，2），
則下列等式成立．

2

3

m3-

1

2

am2+1=0  ①

2

3

n3-

1

2

an2+1=0  ②
m²-am=n²-an  ③
由③得m+n=a，
①-②得m2+mn+n2=

3

4

a2  ④
又m²+mn+n²=（m+n）²-mn=a²-m（a-m）
=m2-am+a2=(m-

a

2

)2≥

3

4

a2．
故由④得m=

a

2

，此時n=

a

2

．與m≠n矛盾，
∴g′（m）≠g′（n）．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，訓(xùn)練了利用反證法證明不等式，關(guān)鍵在于巧妙地運(yùn)用曲線y=g（x）在點(diǎn)（t，g（t））處的切線方程得到曲線y=g（x）上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式．屬難題．