Question

4．已知函數(shù)f（x）=f（$\frac{1}{x}$），當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，f（x）=lnx，在區(qū)間[$\frac{1}{3}$，3]內(nèi)，函數(shù)g（x）=f（x）-ax有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （0，$\frac{1}{e}$）
• B． （$\frac{1}{2e}$，$\frac{1}{e}$）
• C． [$\frac{ln3}{3}$，$\frac{1}{e}$）
• D． （$\frac{ln3}{3}$，$\frac{1}{e}$]

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)可得f（x）=|lnx|，從而作函數(shù)f（x）=|lnx|與函數(shù)y=ax的圖象，從而利用導(dǎo)數(shù)及數(shù)形結(jié)合的思想求解．

解答 解：當(dāng)x∈[$\frac{1}{3}$，1]時(shí)，$\frac{1}{x}$∈[1，3]，
故f（x）=f（$\frac{1}{x}$）=ln$\frac{1}{x}$=-lnx；
故f（x）=|lnx|，
作函數(shù)f（x）=|lnx|與函數(shù)y=ax的圖象如下，
，
設(shè)直線(xiàn)l與f（x）=|lnx|相切，如圖，設(shè)切點(diǎn)為（x，lnx），
則由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，$\frac{1}{x}$=$\frac{lnx}{x}$，
故x=e；
故k_l=$\frac{1}{e}$；
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是[$\frac{ln3}{3}$，$\frac{1}{e}$），
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用．