Question

已知四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PB=PD，E為PA的中點(diǎn)．
（1）求證：PC∥平面BDE；
（2）若PB=BC=2，二面角P-BD-C的大小為60°，求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連結(jié)DE，AC，BD，交于點(diǎn)O，連結(jié)OE，由已知得OE∥PC，由此能證明PC∥平面BDE．
（2）連結(jié)PO，∠POC是二面角P-BD-C的平面角，∠POC=60°，過(guò)P作PF⊥平面ABCD，交OC于F，PF=PO•sin60°=

2

×

3

2

=

6

2

，S_{正方形ABCD}=2×2=4，由此能求出四棱錐P-ABCD的體積．

解答： （1）證明：連結(jié)DE，AC，BD，交于點(diǎn)O，連結(jié)OE，
∵ABCD的是正方形，∴O是AC中點(diǎn)，
∵E為PA的中點(diǎn)，∴OE∥PC，
∵OE?平面BDE，PC?平面BDE，
∴PC∥平面BDE．
（2）解：連結(jié)PO，
由已知得PO⊥BD，CO⊥BD，
∴∠POC是二面角P-BD-C的平面角，故∠POC=60°，
∴PO=OC=PC=

2

，
過(guò)P作PF⊥平面ABCD，交OC于F，
PF=PO•sin60°=

2

×

3

2

=

6

2

，
S_{正方形ABCD}=2×2=4，
∴四棱錐P-ABCD的體積V=

1

3

×S正方形ABCD×PF=

1

3

×4×

6

2

=

2 6

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查四棱錐的體積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．