Question

2．已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1•a_n-2a_n+1=0（n∈N^*）．
（Ⅰ）猜測數(shù)列{aⁿ}的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論；
（Ⅱ）設(shè)n，k為任意兩個正整數(shù)，用反證法證明：$\frac{1+{a}_{n}}{{a}_{k}}$與$\frac{1+{a}_{k}}{{a}_{n}}$中至少有一個小于2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先猜想通項公式，利用數(shù)學(xué)歸納法證明．
（Ⅱ）先假設(shè)（Ⅱ）假設(shè)$\frac{1+{a}_{n}}{{a}_{n}}≥2$，且$\frac{1+{a}_{k}}{{a}_{n}}≥2$，因為a_n，a_k＞0，利用兩式子加和后的式子退出與已知矛盾，得出原命題成立．

解答 解：（Ⅰ）由已知，${a}_{n+1}=\frac{2{a}_{n}-1}{{a}_{n}}=2-\frac{1}{{a}_{n}}$，又a₁=2，則a₂=2-$\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$
a₃=2-$\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$，a₄=2-$\frac{3}{4}=\frac{5}{4}$，由此可猜想：${a}_{n}=\frac{n+1}{n}$
證明：（1）當(dāng)n=1時，${a}_{1}=2=\frac{1+1}{1}$，所以猜想正確．
（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1，k∈Z）時，猜想成立，即${a}_{k}=\frac{k+1}{k}$
則${a}_{k+1}=2-\frac{1}{{a}_{k}}=2-\frac{k}{k+1}=\frac{k+2}{k+1}$=$\frac{（k+1）+1}{k+1}$，即當(dāng)n=k+1時也成立．
結(jié)合（1）（2）可知，數(shù)列{a_n}的遞推公式是${a}_{n}=\frac{n+1}{n}$
（Ⅱ）假設(shè)$\frac{1+{a}_{n}}{{a}_{n}}≥2$，且$\frac{1+{a}_{k}}{{a}_{n}}≥2$，因為a_n，a_k＞0
則1+a_n＞2a_n，且1+a_k＞2a_n，兩式相加得，（1+a_n）+（1+a_k）≥2a_n+2a_k，即a_n+a_k≤2
因為${a}_{n}=\frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n}＞1，{a}_{n}=\frac{k+1}{k}=1+\frac{1}{k}$＞1，則：a_k+a_n＞2，矛盾．
所以假設(shè)不成立，即：$\frac{1+{a}_{n}}{{a}_{k}}$與$\frac{1+{a}_{k}}{{a}_{n}}$中至少有一個小于2．

點(diǎn)評 本題主要考查了數(shù)學(xué)歸納法和反證法在數(shù)列題目中的應(yīng)用，高考經(jīng)常涉及，屬中檔題型．