Question

10．如圖，中心在原點(diǎn)的橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，長軸長為4，焦距為2$\sqrt{3}$，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）是否存在過M（0，2）的直線與橢圓交于A，B兩個(gè)不同點(diǎn)，使以AB為直徑的圓過原點(diǎn)？若存在，求出直線方程，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，由$2c=2\sqrt{3}∴c=\sqrt{3}$繼而求出b²=a²-c²=1，繼而得出橢圓方程．
（Ⅱ）設(shè)直線斜率為k，則直線l的方程為：y=kx+2，由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+2\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$得：（4k²+1）x²+16kx+12=0，由OA⊥OB得到x₁x₂+y₁y₂=0．代入求解即可．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，∵2a=4∴a=2…（1分）
∵$2c=2\sqrt{3}∴c=\sqrt{3}$…（2分）∴b²=a²-c²=1…（3分）
所以，橢圓的方程為：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$…（4分）
（Ⅱ）法一：假設(shè)存在過M（0，2）的直線l與橢圓交于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)，使以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，依題意可知OA⊥OB．
①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，A、B分別為橢圓短軸的端點(diǎn)，不符合題意  …（5分）
②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)為k，則直線l的方程為：y=kx+2
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+2\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$得：（4k²+1）x²+16kx+12=0…（6分）
令△＞0，得：（16k）²-4•（4k²+1）•12=4k²-3＞0∴${k^2}＞\frac{3}{4}$…（7分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${x_1}+{x_2}=-\frac{16k}{{4{k^2}+1}}，{x_1}{x_2}=\frac{12}{{4{k^2}+1}}$…（8分）
又y₁=kx₁+2，y₂=kx₂+2∴${y_1}{y_2}=（k{x_1}+2）（k{x_2}+2）={k^2}{x_1}{x_2}+2k（{x_1}+{x_2}）+4$=$\frac{12}{{4{k^2}+1}}-\frac{{32{k^2}}}{{4{k^2}+1}}+4$=$\frac{{-20{k^2}}}{{4{k^2}+1}}+4=\frac{{4-4{k^2}}}{{4{k^2}+1}}$…（9分）
∵OA⊥OB∴x₁x₂+y₁y₂=0…（10分）∴$\frac{{12{k^2}}}{{4{k^2}+1}}+\frac{{4-4{k^2}}}{{4{k^2}+1}}=0$∴${k^2}=4＞\frac{3}{4}$∴k=±2…（11分）
∴直線l的方程為：y=±2x+2，即2x-y+2=0或2x+y-2=0，
所以，存在過M（0，2）的直線與橢圓交于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)，使以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，其方程為：2x-y+2=0或2x+y-2=0．…（12分）
（Ⅱ）法二：假設(shè)存在過M（0，2）的直線l與橢圓交于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)，使以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，依題意可知OA⊥OB，設(shè)直線l的方程為：x=m（y-2）…（5分）
由$\left\{\begin{array}{l}x=m（y-2）\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$得：（m²+4）y²-4m²y+4m²-4=0…（6分）
令△＞0，得：16m⁴-4•（m²+4）•（4m²-4）=64-48m²＞0∴$0≤{m^2}＜\frac{4}{3}$…（7分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${y_1}+{y_2}=\frac{{4{m^2}}}{{{m^2}+4}}，{y_1}{y_2}=\frac{{4{m^2}-4}}{{{m^2}+4}}$…（8分）
又${x_1}{x_2}=m（{y_1}-2）•m（{y_2}-2）={m^2}[{y_1}{y_2}-2（{y_1}+{y_2}）+4]$=$\frac{{12{m^2}}}{{{m^2}+4}}$…（9分）
∵OA⊥OB∴x₁x₂+y₁y₂=0…（10分）
∴$\frac{{12{m^2}}}{{{m^2}+4}}+\frac{{4{m^2}-4}}{{{m^2}+4}}=0$∴${m^2}=\frac{1}{4}＜\frac{4}{3}$，
∴$m=±\frac{1}{2}$…（11分）∴所求直線的方程為：$x=±\frac{1}{2}（y-2）$，即2x-y+2=0或2x+y-2=0
所以，存在過M（0，2）的直線與橢圓交于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)，使以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，其方程為：2x-y+2=0或2x+y-2=0…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合題，屬于難度較大的題目，計(jì)算量大，在高考中經(jīng)常在壓軸題中出現(xiàn)．