19．（1）已知m＞n＞0，p＞0，證明：$\frac{n}{m}＜\frac{n+p}{m+p}$；
（2）△ABC中，a，b，c分別是△ABC的三邊，證明：$\frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{c+a}＜2$．

分析 （1）利用作差法，即可證明結(jié)論；
（2）利用（1）的結(jié)論，證明即可．

解答 證明：（1）∵m＞n＞0，p＞0，$左-右=\frac{（n-m）p}{m（m+p）}＜0$，
∴$\frac{n}{m}＜\frac{n+p}{m+p}$；
（2）由（1）得：$\frac{c}{a+b}$＜$\frac{2c}{a+b+c}$，$\frac{a}{b+c}$＜$\frac{2a}{a+b+c}$，$\frac{c+a}$＜$\frac{2b}{c+a+b}$，
三式相加可得$\frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{c+a}＜2$．

點評 本題考查不等式的證明，考查作差法的運用，考查學生分析解決問題的能力，比較基礎(chǔ)．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

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9．如圖幾何體中，棱柱有（　�。�
A．1個B．2個C．3個D．4個

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10．若雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{3}=1$的離心率為2，則此雙曲線的頂點到漸近線的距離等于（　�。�
A．2B．$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$C．$\frac{3}{2}$D．$\sqrt{3}$

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7．數(shù)列{an}的通項公式an=ncos$\frac{nπ}{2}$+1，前n項和為Sn，則s13=19．

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14．已知函數(shù)f（x）=|x-2|，g（x）=-|x+3|+|m|．
（1）解關(guān)于x的不等式f（x）+a-1＞0（a∈R）；
（2）若f（ax）≥g（ax）對x∈R及a∈R恒成立，求m的取值范圍．

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4．觀察下列不等式1+$\frac{1}{{2}^{2}}$＜$\frac{3}{2}$，1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$＜$\frac{5}{3}$，1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$＜$\frac{7}{4}$，…照此規(guī)律，第五個不等式為1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+$\frac{1}{{5}^{2}}$+$\frac{1}{{6}^{2}}$＜$\frac{11}{6}$．

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11．在2008年北京奧運會上，游泳項目的世界記錄在水立方屢屢被打破，充滿了神奇色彩．據(jù)有些媒體的報道，這可能與運動員身上的新式泳衣有關(guān)系．為此有人進行了調(diào)查統(tǒng)計，對某游泳隊的96名運動員的成績進行了調(diào)查，其中使用新式泳衣成績提高的有12人，沒有提高的有36人；沒有使用新式泳衣成績提高的有8人，沒有提高的有40人．請根據(jù)該游泳隊的成績判斷：成績提高與使用新式泳衣是否有關(guān)系？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

8．已知函數(shù)f（x）=cos（ωx+$\frac{π}{6}$）（ω＞0），且f（x）的兩個相鄰極大值點的距離為2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）設(shè)g（x）=f（x）=f（x+$\frac{1}{3}$），求函數(shù)g（x）在區(qū)間[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$]的最小值和最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

9．如圖，四邊形OABC是邊長為1的正方形，OD=3，點P為線段CD上的動點，設(shè)$\overrightarrow{OP}$=α$\overrightarrow{OB}$+β$\overrightarrow{OD}$，則α+β的取值范圍是（　　）
A．[$\frac{2}{3}$，2]B．[0，$\frac{2}{3}$]C．[1，2]D．[$\frac{2}{3}$，1]

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