【題目】設(shè)函數(shù),.
(1)若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若,且函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個極值點,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)求證:對任意的正數(shù)a,都存在實數(shù)t,滿足:對任意的,.
【答案】(1)遞減區(qū)間為,遞增區(qū)間為;(2);(3)見解析
【解析】
(1)求解,利用,,解不等式求解單調(diào)遞增區(qū)間,單調(diào)遞減區(qū)間;
(2),其中,再次構(gòu)造函數(shù)令,分析的零點情況,,令,,列表分析得出單調(diào)性,判斷,分類討論求解①若,②若,③若,的單調(diào)性,最大值,最小值,確定有無零點轉(zhuǎn)化為極值即可;
(3)存在:,恒成立,再運用導(dǎo)數(shù)判斷證明,令,,,求解最大值,得出即可.
(1)當(dāng)時,,,
令,,列表分析
x | 1 | ||
0 | |||
單調(diào)遞減 | 極小值 | 單調(diào)遞增 |
故的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為.
(2),,其中,
令,分析的零點情況.
,令,,列表分析
x | |||
0 | |||
單調(diào)遞減 | 極小值 | 單調(diào)遞增 |
,
而,,
,
①若,則,
故在內(nèi)沒有極值點,舍;
②若,則,,
,
因此在有兩個零點,設(shè)為,,
所以當(dāng)時,單調(diào)遞增,當(dāng)時,單調(diào)遞減,
當(dāng)時,單調(diào)遞增,此時在內(nèi)有兩個極值點;
③若,則,,
,因此在有一個零點,
在內(nèi)有一個極值點;
綜上所述,實數(shù)a的取值范圍為.
(3)存在:,恒成立.
證明如下:
由(2)得在上單調(diào)遞增,
且,.
因為當(dāng)時,(*),所以.
故在上存在唯一的零點,設(shè)為.
由
x | |||
0 | |||
單調(diào)遞減 | 極小值 | 單調(diào)遞增 |
知,.
又,而時,(**),
所以.
即,.
所以對任意的正數(shù)a,都存在實數(shù),使對任意的,使.
補充證明(*):
令,.,所以在上單調(diào)遞增.
所以時,,即.
補充證明(**)
令,,,所以在上單調(diào)遞減.
所以時,,即.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,(其中常數(shù)).
(1)當(dāng)時,求函數(shù)的極值;
(2)若函數(shù)有兩個零點,求證:.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,已知橢圓,若圓的一條切線與橢圓有兩個交點,且.
(1)求圓的方程;
(2)已知橢圓的上頂點為,點在圓上,直線與橢圓相交于另一點,且,求直線的方程.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2sinx-xcosx-x,f′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù).
(1)證明:f′(x)在區(qū)間(0,π)存在唯一零點;
(2)若x∈[0,π]時,f(x)≥ax,求a的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從0,2中選一個數(shù)字,從1,3,5中選兩個數(shù)字,組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),則該三位數(shù)為奇數(shù)的概率為______.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線C的極坐標(biāo)方程是.以極點為平面直角坐標(biāo)系的原點,極軸為x軸的正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,直線l的參數(shù)方程是: (是參數(shù)).
(Ⅰ)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,將直線的參數(shù)方程化為普通方程;
(Ⅱ)若直線l與曲線C相交于A、B兩點,且,試求實數(shù)m的值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,三棱柱的底面是正三角形,底面,M為的中點.
(1)求證:平面;
(2)若,且沿側(cè)棱展開三棱柱的側(cè)面,得到的側(cè)面展開圖的對角線長為,求作點在平面內(nèi)的射影H,請說明作法和理由,并求線段AH的長.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知某中學(xué)高三文科班學(xué)生的數(shù)學(xué)與語文的水平測試成績抽樣統(tǒng)計如下表:
數(shù)學(xué)(x) 人數(shù) 語文(y) | 90分~100分 (數(shù)A) | 80分~90分 (數(shù)B) | 60分~80分 (數(shù)C) |
90分~100分 (語A) | 20 | 7 | 5 |
80分~90分 (語B) | 18 | 9 | 6 |
60分~80分 (語C) | 4 | a | b |
設(shè)x,y分別表示數(shù)學(xué)成績與語文成績,若抽取學(xué)生n人,成績在90分~100分者記為A等級(優(yōu)秀),成績在80分~90分者記為B等級(良好),成績在60分~80分者記為C等級(及格).例如:表中數(shù)學(xué)成績?yōu)?/span>A等級的共有人.已知x與y均為B等級的概率是0.09.
(1)若在該樣本中,數(shù)學(xué)成績良好率是30%,求a,b的值;
(2)在語文成績?yōu)?/span>C等級的學(xué)生中,已知,,求數(shù)學(xué)成績?yōu)?/span>B等級的人數(shù)比C等級的人數(shù)少的概率.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com