【題目】已知函數(shù)f(x)=2sinx-xcosx-x,f′(x)為f(x)的導數(shù).
(1)證明:f′(x)在區(qū)間(0,π)存在唯一零點;
(2)若x∈[0,π]時,f(x)≥ax,求a的取值范圍.
【答案】(1)見解析;
(2).
【解析】
(1)求導得到導函數(shù)后,設為進行再次求導,可判斷出當時,,當時,,從而得到單調(diào)性,由零點存在定理可判斷出唯一零點所處的位置,證得結論;(2)構造函數(shù),通過二次求導可判斷出,;分別在,,和的情況下根據(jù)導函數(shù)的符號判斷單調(diào)性,從而確定恒成立時的取值范圍.
(1)
令,則
當時,令,解得:
當時,;當時,
在上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減
又,,
即當時,,此時無零點,即無零點
,使得
又在上單調(diào)遞減 為,即在上的唯一零點
綜上所述:在區(qū)間存在唯一零點
(2)若時,,即恒成立
令
由(1)可知,在上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減
且,,
,
①當時,,即在上恒成立
在上單調(diào)遞增
,即,此時恒成立
②當時,,,
,使得
在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減
又,
在上恒成立,即恒成立
③當時,,
,使得
在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增
時,,可知不恒成立
④當時,
在上單調(diào)遞減
可知不恒成立
綜上所述:
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】四色猜想是世界三大數(shù)學猜想之一,1976年數(shù)學家阿佩爾與哈肯證明,稱為四色定理.其內(nèi)容是:“任意一張平面地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國家涂上不同的顏色.”用數(shù)學語言表示為“將平面任意地細分為不相重疊的區(qū)域,每一個區(qū)域總可以用,,,四個數(shù)字之一標記,而不會使相鄰的兩個區(qū)域得到相同的數(shù)字.”如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為,粗實線圍城的各區(qū)域上分別標有數(shù)字,,,的四色地圖符合四色定理,區(qū)域和區(qū)域標記的數(shù)字丟失.若在該四色地圖上隨機取一點,則恰好取在標記為的區(qū)域的概率所有可能值中,最大的是( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】關于函數(shù),.有下列命題:
①對,恒有成立.
②,使得成立.
③“若,則有且.”的否命題.
④“若且,則有.”的逆否命題.
其中,真命題有_____________.(只需填序號)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】據(jù)史載知,新華網(wǎng):北京2008年11月9日電,國務院總理溫家寶主持召開國務院常務會議,研究部署進一步擴大內(nèi)需促進經(jīng)濟平穩(wěn)較快增長的措施,以應對日趨嚴峻的全球性世界經(jīng)濟金融危機.在提高城鄉(xiāng)居民特別是低收入人群的收入水平政策措施的刺激下,某零售店當時近5個月的銷售額和利潤額數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下表:
月份 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
銷售額/千萬元 | 3 | 5 | 6 | 7 | 9 |
利潤額/千萬元 | 2 | 3 | 3 | 4 | 5 |
(1)若與之間是線性相關關系,求利潤額關于銷售額的線性回歸方程;
(2)若9月份的銷售額為8千萬元,試利用(1)的結論估計該零售店9月份的利潤額.
參考公式:,.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分別是BC,BB1,A1D的中點.
(1)證明:MN∥平面C1DE;
(2)求點C到平面C1DE的距離.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】古希臘時期,人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是(≈0.618,稱為黃金分割比例),著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外,最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是.若某人滿足上述兩個黃金分割比例,且腿長為105cm,頭頂至脖子下端的長度為26 cm,則其身高可能是
A. 165 cmB. 175 cmC. 185 cmD. 190cm
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某行業(yè)主管部門為了解本行業(yè)中小企業(yè)的生產(chǎn)情況,隨機調(diào)查了100個企業(yè),得到這些企業(yè)第一季度相對于前一年第一季度產(chǎn)值增長率y的頻數(shù)分布表.
的分組 | |||||
企業(yè)數(shù) | 2 | 24 | 53 | 14 | 7 |
(1)分別估計這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)比例、產(chǎn)值負增長的企業(yè)比例;
(2)求這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)與標準差的估計值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表).(精確到0.01)
附:.
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