Question

14．已知△ABC中，AD為角A的平分線，AC=2，AB=3，AD=$\frac{6\sqrt{3}}{5}$，則BC=$\sqrt{43}$．

Answer 1

分析 根據(jù)角平線的性質(zhì)，可設(shè)AD=2x，CD=x，然后結(jié)合余弦定理列方程解之即可

解答 解：因?yàn)锳D是∠A的平分線，所以$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$，
不妨設(shè)BD=2x，CD=3x，
結(jié)合已知得cos∠BAD=cos∠CAD，
由余弦定理得$\frac{{2}^{2}+（\frac{6\sqrt{3}}{5}）^2-（2x）^{2}}{2×2×\frac{6\sqrt{3}}{5}}=\frac{{3}^{2}+（\frac{6\sqrt{3}}{5}）^{2}-（3x）^{2}}{2×3×\frac{6\sqrt{3}}{5}}$，整理得x²=$\frac{43}{25}$
解得x=±$\frac{\sqrt{43}}{5}$，負(fù)值舍去，故x=$\frac{\sqrt{43}}{5}$，所以BC=5x=$\sqrt{43}$．
故答案為：$\sqrt{43}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解三角形的有關(guān)知識(shí)和方法，解題的關(guān)鍵是角平分線的性質(zhì)以及利用兩個(gè)角相等結(jié)合余弦定理列出方程求．．