Question

2．（1）已知a，b是正常數(shù)，a≠b，x，y∈（0，+∞），求證：$\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}≥\frac{{{{（a+b）}^2}}}{x+y}$，指出等號成立的條件；
（2）利用（1）的結(jié)論求函數(shù)$f（x）=\frac{1}{2x}+\frac{2}{1-x}，（x∈（0，1））$的最小值，指出取最小值時x的值．

Answer 1

分析 （1）利用基本不等式a²+b²≥2ab，乘積一定，和有最小值，等號成立的條件是兩正數(shù)相等；
（2）利用（1）的結(jié)論，將（2）變形為f（x）=$\frac{（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}{x}+\frac{（\sqrt{2}）^{2}}{1-x}$即可．

解答 解：（1）應(yīng)用二元均值不等式，得（$\frac{{a}^{2}}{x}+\frac{^{2}}{y}$）（x+y）=a²+b²+${a}^{2}•\frac{y}{x}$+$^{2}•\frac{x}{y}$
≥a²+b²+2$\sqrt{{a}^{2}•\frac{y}{x}•^{2}•\frac{x}{y}}$=（a+b）²，
故$\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}≥\frac{{{{（a+b）}^2}}}{x+y}$．
當(dāng)且僅當(dāng)${a}^{2}•\frac{y}{x}$+$^{2}•\frac{x}{y}$，即$\frac{a}{x}=\frac{y}$時上式取等號．
（2）由（1）f（x）=$\frac{（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}{x}+\frac{（\sqrt{2}）^{2}}{1-x}$≥$\frac{（\frac{3\sqrt{2}}{2}）^{2}}{x+1-x}$=$\frac{9}{2}$
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{x}$=$\frac{\sqrt{2}}{1-x}$，即x=$\frac{1}{3}$時上式取最小值，即[f（x）]_min=$\frac{9}{2}$．

點評 本題考查不等式的應(yīng)用，另外給你一種解題工具，讓你應(yīng)用它來解答某一問題，這是近年考試命題的一種新穎的題型之一，很值得讀者深刻反思和領(lǐng)悟當(dāng)中的思維本質(zhì)．