Question

1．已知圓C的方程為x²+（y-4）²=4，點O是坐標(biāo)原點．直線l：y=$\sqrt{k}$•x與圓C交于M．N不同的兩點．
（Ⅰ）求k的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)點M、N的橫坐標(biāo)分別是x₁、x₂．
①試用x₁、x₂、k來表示|OM|、|ON|；
②設(shè)Q（m，n）是線段MN上的點，且$\frac{2}{|OQ{|}^{2}}$=$\frac{1}{|OM{|}^{2}}$+$\frac{1}{|ON{|}^{2}}$．請用m表示n，并求n的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）可以利用圓心到直線的距離小于半徑來計算，也可以通過將直線方程代入圓的方程所得到的一元二次方程的根的判別式大于0來計算；
（Ⅱ）（1）通過設(shè)M（x₁，$\sqrt{k}$k₁）、N（x₂，$\sqrt{k}$x₂），利用兩點間距離公式計算即可；（2）通過設(shè)Q（m，$\sqrt{k}$•m），$\frac{2}{|OQ{|}^{2}}$=$\frac{1}{|OM{|}^{2}}$+$\frac{1}{|ON{|}^{2}}$可化簡可知m²=$\frac{36}{5k-3}$，利用$\sqrt{k}$=$\frac{n}{m}$，消去k可得n與m的函數(shù)關(guān)系：n=$\frac{\sqrt{15{m}^{2}+180}}{5}$．通過換元法，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，計算即得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）解法一：∵直線l與圓C相交，
∴$\frac{|0-4|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$＜2，
解得k＞3，
∴k的取值范圍是（3，+∞）；
解法二：將y=$\sqrt{k}$•x代入x²+（y-4）²=4，整理得：
（1+k）x²-8$\sqrt{k}$x+12=0，（*）
由△=（-8$\sqrt{k}$）²-4（1+k）•12＞0，可得k＞3，
∴k的取值范圍是（3，+∞）；
（Ⅱ）（1）∵M、N在直線l上，
∴可設(shè)M（x₁，$\sqrt{k}$k₁），N（x₂，$\sqrt{k}$x₂），
∴|OM|=$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+（\sqrt{k}{x}_{1}）^{2}}$=$\sqrt{（1+k）{{x}_{1}}^{2}}$，
|ON|=$\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+（\sqrt{k}{x}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{（1+k）{{x}_{2}}^{2}}$；
（2）∵Q（m，n）在線段MN上，
∴n=$\sqrt{k}$•m，
∴|OQ|²=（m-0）²+（n-0）²=（1+k）m²，
∵$\frac{2}{|OQ{|}^{2}}$=$\frac{1}{|OM{|}^{2}}$+$\frac{1}{|ON{|}^{2}}$，
∴$\frac{2}{（1+k）{m}^{2}}$=$\frac{1}{（1+k）{{x}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{（1+k）{{x}_{2}}^{2}}$，
∴$\frac{2}{{m}^{2}}$=$\frac{1}{{{x}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}}$，
由（*）知：x₁•x₂=$\frac{12}{1+k}$，x₁+x₂=$\frac{8\sqrt{k}}{1+k}$，
∴$\frac{2}{{m}^{2}}$=$\frac{（\frac{8\sqrt{k}}{1+k}）^{2}-2•\frac{12}{1+k}}{（\frac{12}{1+k}）^{2}}$=$\frac{5k-3}{18}$，
∴m²=$\frac{36}{5k-3}$，
∵點Q在直線l上，
∴$\sqrt{k}$=$\frac{n}{m}$，代入m²=$\frac{36}{5k-3}$可得：5n²-3m²=36，
依題意，點Q在圓C內(nèi)，則n＞0，
∴n=$\sqrt{\frac{36+3{m}^{2}}{5}}$=$\frac{\sqrt{15{m}^{2}+180}}{5}$，
于是，n與m的函數(shù)關(guān)系為：n=$\frac{\sqrt{15{m}^{2}+180}}{5}$．
令t=m²，則n=$\frac{\sqrt{15t+180}}{5}$，
由m²=$\frac{36}{5k-3}$及k＞3得0＜m²＜3，即t∈（0，3），
∵n=$\frac{\sqrt{15t+180}}{5}$在（0，3）上為增函數(shù)，
∴$\frac{6}{5}\sqrt{5}$＜n＜3，
即n取值的范圍是（$\frac{6}{5}\sqrt{5}$，3）．

點評 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．