Question

9．銷售甲、乙兩種商品所得利潤分別是P和Q，它們與投入資金t的關系有經(jīng)驗公式P=$\frac{1}{5}$t，Q=$\frac{12}{5}$$\root{3}{t}$，今將10萬元資金投入經(jīng)營甲、乙兩種商品，其中對乙種商品投資x萬元，x∈[0，10]，
（1）試建立總利潤y關于x的函數(shù)關系式；
（2）試問怎樣投資，才能使得總利潤最大？并求出該最大值．（其中P，Q，t，x，y的單位均為萬元）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，對乙種商品投資x（萬元），對甲種商品投資（10-x）（萬元），利用公式P=$\frac{1}{5}$t，Q=$\frac{12}{5}$$\root{3}{t}$，可求經(jīng)營甲、乙兩種商品的總利潤y（萬元）關于x的函數(shù)表達式；
（2）利用導數(shù)法，分析函數(shù)的單調(diào)性，進而可求總利潤y的最大值

解答 解：（1）根據(jù)題意，對乙種商品投資x（萬元），對甲種商品投資（3-x）（萬元）．
P=$\frac{1}{5}$（10-x），Q=$\frac{12}{5}$$\root{3}{x}$，
可得y=$\frac{1}{5}$（10-x）+$\frac{12}{5}$$\root{3}{x}$=2-$\frac{1}{5}$x+$\frac{12}{5}$$\root{3}{x}$，x∈[0，10]，
（2）由（1）得：y′=-$\frac{1}{5}$+$\frac{4}{5}$ ${x}^{-\frac{2}{3}}$，x∈[0，10]，
令y′=0，解得：x=8，
∵當x∈[0，8]時，y′＞0，原函數(shù)為增函數(shù)；
當x∈[8，10]時，y′＜0，原函數(shù)為減函數(shù)；
∴當x=8時，y_最大值=$\frac{26}{5}$．
答：對甲種商品投資2萬元，對乙種商品投資8萬元時，總利潤的最大值是$\frac{26}{5}$萬元． …12

點評 本題考查利用數(shù)學知識解決實際問題，考查函數(shù)的最值，正確建立函數(shù)解析式是關鍵．