Question

已知函數(shù)f（x）=（a+

1

a

）lnx+

1

x

-x
（1）當a＞1時，討論f（x）在區(qū)間（0，1）上的單調性；
（2）當a＞0時，求f（x）的極值；．
（3）當a≥3時，曲線y=f（x）上總存在不同兩點P（x₁，f（x₁）），Q（x₂，f（x₂）），使得曲線y=f（x）在P、Q兩點處的切線互相平行，證明：x₁+x₂＞

6

5

．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的概念及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）由f′（x）=

-(x-a)(x- 1 a )

x2

，當x∈（0，

1

a

），f′（x）＜0，當x∈（

1

a

，1），f′（x）＞0，可得：f（x）在（0，

1

a

）上單調遞減，在（

1

a

，1）上單調遞增；
（2）當a＞1時，f（x）在（0，

1

a

），（a，+∞）上單調遞減，在（

1

a

，a）上單調遞增；當a=1時，函數(shù)在定義域上為減函數(shù)，當0＜a＜1時，f（x）在（0，a），（

1

a

，+∞）上單調遞減，在（a，

1

a

）上單調遞增，進而得到函數(shù)的極值；
（3）依題意可得：a+

1

a

=

x1+x2

x1x2

，進而根據(jù)基本不等式可得a+

1

a

＞

4

x1+x2

，又由a≥3時，a+

1

a

≥

10

3

，所以x₁+x₂＞(

4

a+ 1 a

)max=

6

5

．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=（a+

1

a

）lnx+

1

x

-x
∴函數(shù)f′（x）=（a+

1

a

）

1

x

-

1

x2

-1=

-(x-a)(x- 1 a )

x2

，
∵a＞1，故0＜

1

a

＜1＜a，
故當x∈（0，

1

a

），f′（x）＜0，當x∈（

1

a

，1），f′（x）＞0，
故f（x）在（0，

1

a

）上單調遞減，在（

1

a

，1）上單調遞增；
（2）由（1）得f′（x）=

-(x-a)(x- 1 a )

x2

，
當a＞1時，f（x）在（0，

1

a

），（a，+∞）上單調遞減，在（

1

a

，a）上單調遞增；
x=

1

a

時，f（x）取極小值（a+

1

a

）ln

1

a

+a-

1

a

=-（a+

1

a

）lna+a-

1

a

，
x=a時，f（x）取極大值（a+

1

a

）lna-a+

1

a

當a=1時，f′（x）=

-(x-1)2

x2

≤0恒成立，此時函數(shù)在定義域上為減函數(shù)，無極值．
當0＜a＜1時，0＜a＜1＜

1

a

，f（x）在（0，a），（

1

a

，+∞）上單調遞減，在（a，

1

a

）上單調遞增；
x=a時，f（x）取極小值（a+

1

a

）lna-a+

1

a

x=

1

a

時，f（x）取極大值（a+

1

a

）ln

1

a

+a-

1

a

=-（a+

1

a

）lna+a-

1

a

，
證明：（3）依題意得：f′（x₁）=（a+

1

a

）

1

x1

-

1

x12

-1=f′（x₂）=（a+

1

a

）

1

x2

-

1

x22

-1，
故a+

1

a

=

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

，
由基本不等式可得：x₁+x₂＞2

x1•x2

，得：x₁•x₂＜

(x1+x2)2

4

，
故

x1+x2

x1x2

＞

4

x1+x2

，
即a+

1

a

＞

4

x1+x2

，
當a≥3時，a+

1

a

≥

10

3

，所以x₁+x₂＞(

4

a+ 1 a

)max=

6

5

，
即x₁+x₂＞

6

5

．

點評：本題考查的知識點是利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，利用導數(shù)研究曲線上某點的切線方程，綜合性強，運算量大，屬于難題．