Question

7．過(guò)拋物線y²=4x的集點(diǎn)F作斜率為2的直線l，l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，求以線段AB為直徑的圓的方程．

Answer 1

分析 設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立直線與拋物線組成方程組，求得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，求出AB的長(zhǎng)，然后求以AB為直徑的圓的方程．

解答 解：由題意，得F（1，0），直線l的方程為y=2x-2．
代入拋物線方程，得x²-3x+1=0，
設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（x₀，y₀），
因?yàn)椤?3²-4=5＞0，所以x₁+x₂=3，x₁x₂=1，
所以圓心為M（$\frac{3}{2}$，1），
由拋物線定義，得|AB|=|AF|+|BF|=x₁+x₂+p=5（其中p=2）．
所以以AB為直徑的圓的方程為（x-$\frac{3}{2}$）²+（y-1）²=$（\frac{5}{2}）^{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的方程，直線和圓的方程的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)與方程的思想，是中檔題．