若正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，且正四面體的高為4，則該球的半徑為
 
，體積為
 
．
分析：畫(huà)出幾何圖形，設(shè)出球的半徑，通過(guò)正四面體的高，求出球的半徑，然后求出球的體積．
解答：精英家教網(wǎng)解：正四面體內(nèi)接于球，則相應(yīng)的一個(gè)正方體內(nèi)接于球
設(shè)正方體為ABCD-A1B1C1D1則正四面體為ACB1D1
設(shè)球半徑為R，則AC=2R
6
3

設(shè)底面ACB1中心為O則AO=2R
2
3

OD1=2R
2
3
  即R
4
3
=4
解得R=3
V=R3
4π
3
=36π
故答案為：3；36π．
點(diǎn)評(píng)：本題考查球的體積，正四面體與正方體的關(guān)系，在幾何解題中，往往相互聯(lián)系，本題中采用轉(zhuǎn)化思想，把正四面體的高，棱長(zhǎng)與正方體的棱長(zhǎng)，外接球的直徑相結(jié)合，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件．是解題成功的關(guān)鍵．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

①棱長(zhǎng)為1的正四面體與一個(gè)球①若正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在球面上，則這個(gè)球的表面積
3π
2
3π
2
．
②若球與正四面體的六條棱都相切，則這個(gè)球的體積
2
π
24
2
π
24
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

棱長(zhǎng)為1的正四面體與一個(gè)球

     ①若正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在球面上，則這個(gè)球的表面積為        。

     ②若球與正四面體的六條棱都相切，則這個(gè)球的體積是           。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

①棱長(zhǎng)為1的正四面體與一個(gè)球①若正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在球面上，則這個(gè)球的表面積______．
②若球與正四面體的六條棱都相切，則這個(gè)球的體積______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2009-2010學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市雅禮中學(xué)高三第五次質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：填空題

①棱長(zhǎng)為1的正四面體與一個(gè)球①若正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在球面上，則這個(gè)球的表面積    ．
②若球與正四面體的六條棱都相切，則這個(gè)球的體積    ．

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