【題目】已知函數(shù)f(x)=xlnx和g(x)=m(x2-1)(m∈R).
(1)m=1時(shí),求方程f(x)=g(x)的實(shí)根;
(2)若對任意的x∈(1,+∞),函數(shù)y=g(x)的圖象總在函數(shù)y=f(x)圖象的上方,求m的取值范圍;
(3)求證: ++…+>ln(2n+1) (n∈N*).
【答案】(1)見解析(2) .(3) 見解析
【解析】試題分析:(1)代入時(shí), ,即,整理方程得,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性為遞減函數(shù),故最多有一個(gè)零點(diǎn),而,故方程有唯一的實(shí)根;(2)對于任意的, 恒成立,通過構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性, ,通過討論,判斷是否符合題意;(3)由(2)知,當(dāng)時(shí), 時(shí), 成立,結(jié)合題型,構(gòu)造不妨令,得出,利用累加可得結(jié)論.
試題解析:(1) 時(shí), ,即,而,所以方程即為.
令,則,而,故方程有唯一的實(shí)根.
(2)對于任意的,函數(shù)的圖象總在函數(shù)圖象的上方,
即, ,即,
設(shè),即, ,則
①若,則, ,這與題設(shè)矛盾.
若,方程的判別式,
當(dāng),即時(shí),
∴在上單調(diào)遞減,
∴,即不等式成立.
當(dāng),即時(shí),方程有兩個(gè)實(shí)根,設(shè)兩根為, 且,則
∴方程有兩個(gè)正實(shí)根且
當(dāng)時(shí), , 單調(diào)遞增, 與題設(shè)矛盾.
綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍是.
(3)證明 由(2)知,當(dāng)時(shí), 時(shí), 成立.
不妨令
∴,即
∴,累加可得
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x(1-)是R上的偶函數(shù).
(1)對任意的x∈[1,2],不等式m·≥2x+1恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
(2)令g(x)=1-,設(shè)函數(shù)F(x)=g(4x-n)-g(2x+1-3)有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)n的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】直角三角形中,是的中點(diǎn),是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且,如圖所示,沿將翻折至,使得平面平面.
(1)當(dāng)時(shí),證明:平面;
(2)是否存在,使得與平面所成的角的正弦值是?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知中心在原點(diǎn)O,左焦點(diǎn)為F1(-1,0)的橢圓C的左頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B,F1到直線AB的距離為|OB|.
(1)求橢圓C的方程;
(2)如圖,若橢圓,橢圓,則稱橢圓C2是橢圓C1的λ倍相似橢圓.已知C2是橢圓C的3倍相似橢圓,若橢圓C的任意一條切線l交橢圓C2于兩點(diǎn)M、N,試求弦長|MN|的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,正三角形的邊長為2, 分別在三邊和上, 為的中點(diǎn), .
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求的大;
(Ⅱ)求的面積的最小值及使得取最小值時(shí)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,長方體中, , ,點(diǎn), , 分別為, , 的中點(diǎn),過點(diǎn)的平面與平面平行,且與長方體的面相交,交線圍成一個(gè)幾何圖形.
(1)在圖中畫出這個(gè)幾何圖形(說明畫法,不需要說明理由);
(2)求二面角 的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】金磚國家領(lǐng)導(dǎo)人第九次會(huì)晤于2017年9月3日至5日在中國福建廈門市舉行,為了在金磚峰會(huì)期間為來到廈門的外國嘉賓提供服務(wù),培訓(xùn)部對兩千余名志愿者進(jìn)行了集中培訓(xùn),為了檢驗(yàn)培訓(xùn)效果,現(xiàn)培訓(xùn)部從兩千余名志愿者中隨機(jī)抽取100名,按年齡(單位:歲)分組:第1組,第2組,第3組,第4組,第5組,得到的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)若從第3,4,5組中用分層抽樣的方法抽取6名志愿者前去機(jī)場參加接待外賓禮儀測試,則應(yīng)從第3,4,5組中各抽取多少名志愿者?
(2)在(1)的條件下,若在第3,4組的志愿者中隨機(jī)抽取2名志愿者介紹接待外賓經(jīng)驗(yàn)感受,求第4組至少有1名志愿者被抽中的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)().
(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)當(dāng)時(shí),試問方程是否有實(shí)數(shù)根?若有,求出所有實(shí)數(shù)根;若沒有,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓: 的左、右焦點(diǎn)分別為和,離心率是,直線過點(diǎn)交橢圓于, 兩點(diǎn),當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí), 的周長為.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)當(dāng)直線繞點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí),試求的取值范圍.
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