Question

10．在平面直角坐標系中，已知點A（1，0），點B在直線l：x=-1上運動，過點B與l垂直的直線和線段AB的垂直平分線相交于點M．
（1）求動點M的軌跡E的方程；
（2）過（1）中軌跡E上的點P（1，2）作軌跡E的切線，求切線方程．

Answer 1

分析 （1）利用MA|=|MB|，動點M的軌跡E是以A（1，0）為焦點，直線l：x=-1為準線的拋物線，求出軌跡方程即可．
（2）設經(jīng)過點P的切線方程為y-2=k（x-1），與拋物線聯(lián)立利用相切，判別式為0，求解即可．

解答 解：（1）依題意，得|MA|=|MB|…（1分）
∴動點M的軌跡E是以A（1，0）為焦點，直線l：x=-1為準線的拋物線，…（3分）
∴動點M的軌跡E的方程為y²=4x．…（5分）
（2）設經(jīng)過點P的切線方程為y-2=k（x-1），…．（6分）
聯(lián)立拋物線y²=4x消去x得：ky²-4y-4k+8=0，…（10分）
由△=16-4k（-4k+8）=0，得k=1，…（12分）
∴所求切線方程為：x-y+1=0．…（13分）

點評 本題考查軌跡方程的求法，直線與拋物線的位置關系的應用，考查計算能力．