Question

20．已知中心在原點(diǎn)的橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，且兩條曲線在第一象限的交點(diǎn)為P，△PF₁F₂是以PF₁為底邊的等腰三角形，若|PF₁|=10，橢圓與雙曲線的離心率分別為e₁，e₂，則e₂-e₁的取值范圍是（　�。�

• A． （$\frac{2}{3}$，+∞）
• B． （$\frac{4}{3}$，+∞）
• C． （0，$\frac{2}{3}$）
• D． （$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{3}$）

Answer 1

分析 設(shè)橢圓與雙曲線的半焦距為c，PF₁=r₁，PF₂=r₂．利用三角形中邊之間的關(guān)系得出c的取值范圍，再根據(jù)橢圓或雙曲線的性質(zhì)求出各自的離心率，最后依據(jù)c的范圍即可求出e₂-e₁的取值范圍．

解答 解：設(shè)橢圓與雙曲線的半焦距為c，|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂．
由題意知r₁=10，r₂=2c，且r₁＞r₂，2r₂＞r₁，
∴2c＜10，2c+2c＞10，
∴2.5＜c＜5，
∴e₁=$\frac{2c}{10-2c}$=$\frac{c}{5-c}$；e₂=$\frac{2c}{10+2c}$=$\frac{c}{5+c}$．
∴e₂-e₁=$\frac{c}{5-c}$-$\frac{c}{5+c}$=$\frac{2{c}^{2}}{25-{c}^{2}}$=$\frac{2}{\frac{25}{{c}^{2}}-1}$＞$\frac{2}{3}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)、雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)、不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．