Question

14．已知|$\overrightarrow a$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow b$|=2．
（1）若$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為150°，求|$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b$|；
（2）若$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$與$\overrightarrow a$垂直，求$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角大�。�

Answer 1

分析 （1）利用|$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow+4{\overrightarrow}^{2}}$即可得出；
（2）由$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$與$\overrightarrow a$垂直，可得（$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$）•$\overrightarrow a$=${\overrightarrow{a}}^{2}-\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，化簡即可得出．

解答 解：（1）∵|$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow+4{\overrightarrow}^{2}}$=$\sqrt{3+4×\sqrt{3}×2cos15{0}^{°}+4×{2}^{2}}$=$\sqrt{19-12}$=$\sqrt{7}$；
（2）∵$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$與$\overrightarrow a$垂直，
∴（$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$）•$\overrightarrow a$=${\overrightarrow{a}}^{2}-\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=3-2$\sqrt{3}$$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$=0，
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$=30°．

點評 本題考查了數(shù)量積運算性質(zhì)、向量夾角公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．