Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}+4x+4}{x+1}$（x＞-1）的最小值為m．
（I）求m的值；
（Ⅱ）當(dāng)a≤1時(shí)，解關(guān)于x的不等式（a+1）x²-（3a+1）x+2a-$\frac{m}{2}$＜0．

Answer 1

分析 （I）化簡(jiǎn)整理可得f（x）=（x+1）+$\frac{1}{x+1}$+2，運(yùn)用基本不等式可得最小值m；
（Ⅱ）（a+1）x²-（3a+1）x+2a-2＜0，即為（x-2）（（a+1）x-（a-1））＜0，對(duì)a討論，結(jié)合二次不等式的解法，即可得到所求解集．

解答 解：（I）函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}+4x+4}{x+1}$（x＞-1）
=$\frac{（x+1-1）^{2}+4（x+1-1）+4}{x+1}$=（x+1）+$\frac{1}{x+1}$+2
≥2$\sqrt{（x+1）•\frac{1}{x+1}}$+2=4，
當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取得最小值4，即m=4；
（Ⅱ）（a+1）x²-（3a+1）x+2a-2＜0，
即為（x-2）（（a+1）x-（a-1））＜0，
由-1＜a≤1時(shí)，$\frac{a-1}{a+1}$≤0，解得，$\frac{a-1}{a+1}$＜x＜2；
當(dāng)a=-1時(shí)，即x-2＜0，解得x＜2；
當(dāng)a＜-1時(shí)，若a=-3時(shí)，即有（x-2）²＞0，即x≠2；
若a＜-3時(shí)，$\frac{a-1}{a+1}$＜2，解得x＞2或x＜$\frac{a-1}{a+1}$；
若-3＜a＜-1時(shí)，$\frac{a-1}{a+1}$＞2，解得x＜2或x＞$\frac{a-1}{a+1}$．
綜上可得，-1＜a≤1時(shí)，解集為（$\frac{a-1}{a+1}$，2）；
a=-1時(shí)，解集為（2，+∞）；
a=-3時(shí)，解集為{x|x≠2}；
-3＜a＜-1時(shí)，解集為{x|x＜2或x＞$\frac{a-1}{a+1}$}；
a＜-3時(shí)，解集為{x|x＞2或x＜$\frac{a-1}{a+1}$}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用基本不等式，考查不等式的解法，注意運(yùn)用分類討論的思想方法，屬于中檔題．