Question

已知△ABC的三個(gè)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且A，B，C成等差數(shù)列，且b=

3

，數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列且首項(xiàng)a₁=

1

2

，公比為

sinA+sinC

a+c

．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=-

log2an

an

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,正弦定理

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由A，B，C成等差數(shù)列，可得2B=A+C，又A+B+C=π，可得B=

π

3

．由正弦定理可得

sinA+sinC

a+c

=

sinB

b

，可得數(shù)列{a_n}的公比，再利用通項(xiàng)公式即可得出．
（2）b_n=-

log2an

an

=n•2ⁿ，利用“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答： 解：（1）∵A，B，C成等差數(shù)列，∴2B=A+C，又A+B+C=π，∴B=

π

3

．
由正弦定理可得

sinA+sinC

a+c

=

sinB

b

=

sin π 3

3

=

1

2

．
∴數(shù)列{a_n}的公比為

1

2

．
∴an=

1

2

×(

1

2

)n-1=(

1

2

)n．
（2）b_n=-

log2an

an

=n•2ⁿ，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，
2S_n=2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=

2(2n-1)

2-1

-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”、正弦定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．