Question

已知函數(shù)f（x）=|2x-a|+a．
（1）若不等式f（x）≤6的解集為[-2，3]，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）在（1）的條件下，若存在實(shí)數(shù)n，使得f（n）≤m-f（-n）成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）原不等式可化為|2x-a|≤6-a，解得a-3≤x≤3．再根據(jù)不等式f（x）≤6的解集為[-2，3]，可得a-3=-2，從而求得a的值；
（2）由題意可得|2n-1|+|2n+1|+2≤m，將函數(shù)y=|2n-1|+|2n+1|+2，寫成分段形式，求得y的最小值，從而求得m的范圍．

解答： 解：（1）原不等式可化為|2x-a|≤6-a，
∴

6-a≥0 a-6≤2x-a≤6-a

，
解得a-3≤x≤3．
再根據(jù)不等式f（x）≤6的解集為[-2，3]，可得a-3=-2，
∴a=1．
（2）∵f（x）=|2x-1|+1，f（n）≤m-f（-n），
∴|2n-1|+1≤m-（|-2n-1|+1），
∴|2n-1|+|2n+1|+2≤m，
∵y=|2n-1|+|2n+1|+2=

4n+2，n≥ 1 2 4，- 1 2 ＜n＜ 1 2 2-4n，n≤- 1 2

，
∴y_min=4，
由存在實(shí)數(shù)n，使得f（n）≤m-f（-n）成立，
∴m≥4，即m的范圍是[4，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，帶有絕對(duì)值的函數(shù)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．