Question

如圖所示，n臺(tái)機(jī)器人M₁，M₂，……，M_n位于一條直線上，檢測(cè)臺(tái)M在線段M₁ M_n上，n臺(tái)機(jī)器人需把各自生產(chǎn)的零件送交M處進(jìn)行檢測(cè)，送檢程序設(shè)定：當(dāng)M_i把零件送達(dá)M處時(shí)，M_i+1即刻自動(dòng)出發(fā)送檢（i=1,2,……,n-1）已知M_i的送檢速度為V(V>0), 且記，n臺(tái)機(jī)器人送檢時(shí)間總和為f(x).
 
(1)求f(x)的表達(dá)式；
(2)當(dāng)n=3時(shí)，求x的值使得f(x)取得最小值；
(3)求f(x)取得最小值時(shí)，x的取值范圍．

Answer 1

（1）f(x)= ；（2）x=1；（3）n為偶數(shù)時(shí)x∈[,]；n為奇數(shù)時(shí)．

試題分析：（1）先求出n臺(tái)機(jī)器人送檢的路程總和，再除以送檢速度v即為n臺(tái)機(jī)器人送檢時(shí)間總和f(x)；而且，則，從而可得f(x)的表達(dá)式；（2）當(dāng)n=3時(shí)，f(x)是一個(gè)含有絕對(duì)值符號(hào)的函數(shù)，只須采用零點(diǎn)分段討論法，去掉絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為一個(gè)分段函數(shù)，結(jié)合函數(shù)圖就可求得使f(x)取得最小值對(duì)應(yīng)的x的值；（3）由(1)知f(x)是一個(gè)含有多個(gè)絕對(duì)值符號(hào)的函數(shù),再由(2)的經(jīng)驗(yàn),須去掉絕對(duì)值符號(hào),所以我們只須設(shè)i≤x≤i+1,(0≤i<n-2, i∈Ζ),就可去掉所有的絕對(duì)值符號(hào),從而轉(zhuǎn)化為一個(gè)一次函數(shù),其單調(diào)性由x系數(shù)的正負(fù)來(lái)確定，討論x系數(shù)的正負(fù)，并結(jié)合n的奇偶性就可求出f(x)取得最小值時(shí)，x的取值范圍．
試題解析：（1）以M₁為坐標(biāo)原點(diǎn)，M₁，M₂ ，M_n所在直線為x軸建立數(shù)軸，則M_i的坐標(biāo)為i-1，M的坐標(biāo)為x．
f(x)=     3分
（2）n=3時(shí),V f(x)=
 f(x)在x=1處取得最小值
（3）當(dāng)i≤x≤i+1,(0≤i<n-2, i∈Ζ)時(shí)，

=x+(x-1)+  +(x-i)-(x-(i+1))-  -(x-(n-1))
="[(" i+1)x-(1+2+  + i)]-[n-( i+1)·x-( i+1+ i+2+  +(n-1) ]
="-[n-2" (i+1) ]·x-
當(dāng)0≤i<時(shí)，f(x)單調(diào)遞減：當(dāng)時(shí)，f(x)單調(diào)遞增
當(dāng), f(x)為常函數(shù)，又f(x)圖象是一條連續(xù)不斷的圖象，所以
①n為偶數(shù)時(shí)，f(x)在（0，）內(nèi)單調(diào)遞減，在()為常函數(shù)，在（，n-1）單調(diào)遞增，所以當(dāng)x∈[,]時(shí)f(x)取得最小值．
②n為奇數(shù)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞減，（表示的整數(shù)部分），在   內(nèi)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)取得最小值    （13分）