Question

（本題14分）在如圖所示的幾何體中，平面，平面，且，是的中點(diǎn)．

（I）求證：；
（II）求與平面所成的角．

Answer 1

（I）證明見(jiàn)解析
（II）．

方法一：
（I）證明：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150356763540.png" style="vertical-align:middle;" />，是的中點(diǎn)，
所以．
又平面，
所以．
（II）解：過(guò)點(diǎn)作平面，垂足是，連結(jié)交延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連結(jié)，．

是直線和平面所成的角．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150356997505.png" style="vertical-align:middle;" />平面，
所以，
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150357215505.png" style="vertical-align:middle;" />平面，
所以，
則平面，因此．
設(shè)，，
在直角梯形中，
，是的中點(diǎn)，
所以，，，
得是直角三角形，其中，
所以．
在中，，
所以，
故與平面所成的角是．
方法二：
如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，分別為軸和軸，過(guò)點(diǎn)作與平面垂直的直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，．，．

（I）證明：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150358058795.png" style="vertical-align:middle;" />，，
所以，
故．
（II）解：設(shè)向量與平面垂直，則，，
即，．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150358214807.png" style="vertical-align:middle;" />，，
所以，，
即，
，
直線與平面所成的角是與夾角的余角，
所以，
因此直線與平面所成的角是．